電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導）の問題

真空中に、中心 O、内半径 $a$、外半径 $2a$（$a>0$）の厚い球殻があり、球殻の部分 $a\leqq r\leqq 2a$（$r$ は O からの距離）にだけ、正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。O からの距離が $\frac{3}{2}a$ の点 P での電場の大きさを、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、球殻の部分の誘電率も ${\epsilon }_0$ とし、電荷は静止しているものとする。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の無限に長い円柱があり、その内部にだけ電荷が分布している。中心軸からの距離を $s$ とすると、電荷密度は
$$\rho (s)={\rho }_0\frac{s}{a}(0\leqq s\leqq a)$$
である（${\rho }_0>0$ は定数）。円柱の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。

円柱の内部で中心軸からの距離が $r$（$0<r<a$）の点 P における電場の大きさ $E$ を、${\rho }_0$, $a$, $r$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の導体球があり、接地されている（導体球の電位は無限遠と同じ $0$ に保たれている）。O からの距離が $2a$ の点 P に点電荷 $q$（$q>0$）を固定した。直線 OP 上で、O に関して P と反対側にあり $\mathrm{OR}=2a$ となる点を R とする。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とし、電位の基準は無限遠にとる。

導体球の表面に誘導された電荷の影響も含めて、点 R の電位 $V$ を $q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。

真空中に、半径 $a$（$a>0$）の十分に長い円柱があり、その内部に正の電荷が一様な体積密度 $\rho$（$\rho >0$）で分布している。円柱の外部に電荷はない。円柱の中心軸上の点を O、中心軸からの距離が $2a$ の点を P とする。O と P の電位差 $V_{\mathrm{O}}-V_{\mathrm{P}}$ を、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$, $\rho$, $a$ を用いて表せ。ただし、円柱の内部と外部の誘電率はどちらも ${\epsilon }_0$ とし、円柱の端の影響は無視する。

真空中に、中心 O、半径 $a$（$a>0$）の球があり、その内部に全電荷 $Q$（$Q>0$）が一様に分布している。球の外部に電荷はない。真空の誘電率を ${ϵ}_0$ とする。O からの距離を $r$ とすると、電場は O から放射状外向きで、その大きさは
$$E(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{Qr}{4\pi {ϵ}_0{a}^3}& (0\leqq r\leqq a)\\ \frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}& (r\geqq a)\end{array}$$
である。

無限遠を電位の基準（電位 $0$）とするとき、中心 O の電位 $V_{\mathrm{O}}$ を $Q$, $a$, ${ϵ}_0$ を用いて表せ。