空間ベクトルと直線・平面

空間ベクトルの成分・内積を使い、直線と平面の交点や、平面に下ろした垂線の足を求められる

前提

内積となす角（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）

説明

空間の平面上の点を、2 つの実数 $s, t$ を使ってベクトルで表す方法を学びます。この表し方を使うと、直線と平面の交点や、点から平面に下ろした垂線の足 $H$ の座標を求められます。必要なのは、成分の計算と「内積が $0$ なら垂直」という条件だけです。四面体の頂点から底面に下ろした垂線の足を求めるときや、空間の直線が平面とどこで交わるかを調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

一直線上にない 3 点 $A, B, C$ を通る平面を考えます。 $AB$ と $AC$ はどちらも $0$ でなく、平行でもありません。平面上の点 $P$ へは、 $A$ から出発して「 $AB$ の向きに $s$ 倍」「 $AC$ の向きに $t$ 倍」進めば必ずたどり着けます。逆に、そうして進んだ点は必ず平面上にあります。したがって平面上の点は $OP = OA + s AB + t AC (s, t は実数)$ と表せる点のことです。平面の中で自由に動ける向きは 2 つあるので、パラメータも 2 つ必要です。これに対して、点 $D$ を通り $u (\neq = 0)$ に平行な直線上の点は、 $OD + k u$ のようにパラメータ 1 つで表せます。交点は両方の表し方にあてはまる点です。そこで成分を等しいとおくと、 $s, t, k$ についての方程式が 3 本得られ、それを解けば交点が決まります。

垂線の足は、次の事実をもとに求めます。あるベクトル $n$ が $AB$ と $AC$ の両方に垂直だとします。すると、平面上のどんなベクトル $s AB + t AC$ に対しても $n \cdot (s AB + t AC) = s (n \cdot AB) + t (n \cdot AC) = 0$ となります。つまり $n$ は平面全体に垂直です。よって、点 $P$ から平面に下ろした垂線の足 $H$ は、次の 2 つの条件で決まります。
(1) $H$ は平面上にある（ $s, t$ を使って表せる）
(2) $PH \cdot AB = 0$ かつ $PH \cdot AC = 0$
(2) は $s, t$ についての連立一次方程式なので、これを解けば $H$ が求まります。

手順

平面上の点を表す: 平面が一直線上にない 3 点 $A, B, C$ を通るとき、平面上の点を $OA + s AB + t AC$ とおき、成分で書く。
直線との交点を求める場合: 直線上の点を $OD + k u$ とおく（ $s, t$ とは別の文字を使う）。平面の式と成分ごとに等しいとおき、 $s, t, k$ の連立方程式を解く。
垂線の足を求める場合: 足 $H$ を手順 1 の形でおき、 $PH = OH - OP$ を成分で求める。
垂直条件を立てる: $PH \cdot AB = 0$ と $PH \cdot AC = 0$ の 2 式を作り、 $s, t$ について解く。
求めたパラメータを代入する: 求めた $s, t$ を手順 1 の式に（または $k$ を手順 2 の直線の式に）代入して、交点や足の座標を求める。

例題

座標空間に 3 点 $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (0, 0, 2)$ がある。原点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足 $H$ の座標を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $AB = (- 1, 2, 0)$ , $AC = (- 1, 0, 2)$ である。この 2 つは平行でないので、3 点 $A, B, C$ は一直線上にない。 $H$ は平面 $ABC$ 上にあるから、実数 $s, t$ を用いて $OH = OA + s AB + t AC = (1 - s - t, 2 s, 2 t)$ と表せる。
【手順 3】垂線を下ろす点は原点 $O$ なので、 $OH - OO = OH$ が、そのまま垂線の向きのベクトルになる。
【手順 4】 $OH \cdot AB = - (1 - s - t) + 2 \cdot 2 s + 2 t \cdot 0 = 5 s + t - 1 = 0$
$OH \cdot AC = - (1 - s - t) + 2 s \cdot 0 + 2 \cdot 2 t = s + 5 t - 1 = 0$
2 式を辺々引くと $4 s - 4 t = 0$ となり、 $s = t$ である。これを 1 つ目の式に代入すると $6 s = 1$ なので、 $s = t = \frac{1}{6}$ 。
【手順 5】手順 1 の式に代入すると $OH = (1 - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ となる。
（確認） $OH \cdot AB = - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 0 = 0$ 、 $OH \cdot AC = - \frac{2}{3} + 0 + \frac{2}{3} = 0$ で、どちらも成り立っている。
よって $H (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 。

答え: $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

よくある誤り

垂直条件を 1 本しか立てない誤り。 $PH \cdot AB = 0$ だけでは、 $PH$ が平面に垂直とは限らない。正しくは、平行でない 2 つのベクトルの両方について、 $PH \cdot AB = 0$ かつ $PH \cdot AC = 0$ を立てる。
点 $P$ が原点でないのに、 $OH \cdot AB = 0$ としてしまう誤り。垂線の向きは $OH$ ではなく $PH = OH - OP$ である。正しくは $(OH - OP) \cdot AB = 0$ とする。
平面上の点を $OP = α OA + β OB + γ OC$ の形で表すときに、係数の条件を忘れる誤り。 $OA + s AB + t AC = (1 - s - t) OA + s OB + t OC$ だから、正しくは $α + β + γ = 1$ という条件が必要である。
直線と平面の交点を求めるときに、直線のパラメータと平面のパラメータに同じ文字 $t$ を使ってしまう誤り。例えば $OD + t u = OA + s AB + t AC$ とすると、本来は無関係な 2 つの値を等しいと決めつけたことになる。正しくは、直線を $OD + k u$ のように別の文字で表し、 $s, t, k$ の 3 つを未知数として解く。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

平面に関する対称点と最短経路（数学C ベクトル）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
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