ベクトル場の線積分

媒介変数表示 $r (t)$ の曲線に沿った線積分 $\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t$ を計算し、向きを逆にすると符号が変わることを使える

前提

空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）

説明

ベクトル場 $F$ の中を曲線 $C$ に沿って動くときに、 $F$ がした「仕事」の総量にあたる量が線積分 $\int_{C} F \cdot d r$ です。曲線を媒介変数表示 $r (t)$ で表すと、ふつうの $t$ の定積分に直して計算できます。力のする仕事、流体の循環、電場に沿った電位差などを求める場面で使います。曲線の向きを逆にすると値の符号だけが変わる、という性質も計算の手間を減らすのに役立ちます。

なぜそうしてよいのか

空間の各点 $(x, y, z)$ にベクトル $F (x, y, z) = (P, Q, R)$ を対応させたものをベクトル場といいます。曲線 $C$ が $r (t) = (x (t), y (t), z (t))$ （ $a \leq t \leq b$ 、 $r^{'} (t)$ は連続）で表され、 $t$ が $a$ から $b$ へ増える向きに進むとします。 $t$ を細かく区切ると、 $t$ から $t + Δ t$ までの小さな移動は $Δ r \approx r^{'} (t) Δ t$ です。この短い区間では $F$ はほぼ一定の $F (r (t))$ なので、その区間での仕事は内積 $F (r (t)) \cdot r^{'} (t) Δ t$ で近似できます（内積は「力の、進む向きの成分 × 進んだ距離」です）。これを足し合わせて区切りを細かくした極限が
$\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t$
です。成分で書くと $\int_{a}^{b} {P x^{'} (t) + Q y^{'} (t) + R z^{'} (t)} d t$ となります。同じ向きに進む別の媒介変数表示を使っても、置換積分により値は変わりません。

向きを逆にすると符号が変わる理由も置換積分でわかります。同じ曲線を逆向きにたどる表示は $r ~ (s) = r (a + b - s)$ （ $a \leq s \leq b$ ）です。合成関数の微分より $r ~^{'} (s) = - r^{'} (a + b - s)$ となります。そこで $t = a + b - s$ （ $d t = - d s$ ）と置換すると次のようになります。
$\int_{a}^{b} F (r ~ (s)) \cdot r ~^{'} (s) d s = - \int_{b}^{a} F (r (t)) \cdot {- r^{'} (t)} d t = - \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t$
つまり、逆向きの曲線を $- C$ と書くと $\int_{- C} F \cdot d r = - \int_{C} F \cdot d r$ です。直観的には、帰り道では進む向きがすべて逆になるので、各区間の仕事の符号が反転します。

手順

曲線 $C$ を媒介変数表示 $r (t) = (x (t), y (t), z (t))$ 、 $a \leq t \leq b$ で表し、 $t$ が増える向きが $C$ の向きと一致するか確認する（逆なら最後に符号を反転すればよい）
$F$ の $x, y, z$ にすべて $x (t), y (t), z (t)$ を代入して $F (r (t))$ を求める
各成分を微分して $r^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t))$ を求める
内積 $F (r (t)) \cdot r^{'} (t)$ を計算し、 $t$ だけの関数にする
$\int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t$ を置換・部分積分などで計算する
手順 1 で向きが逆だった場合は、得た値の符号を変える： $\int_{- C} F \cdot d r = - \int_{C} F \cdot d r$

例題

ベクトル場 $F (x, y, z) = (y, z, x)$ と、らせん $x = cos t, y = sin t, z = t$ を考える。このらせんを点 $(1, 0, 2 π)$ から点 $(1, 0, 0)$ へ向かってたどる曲線（ $t$ が $2 π$ から $0$ へ減る向き）を $C$ とする。線積分 $\int_{C} F \cdot d r$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $r (t) = (cos t, sin t, t)$ 、 $0 \leq t \leq 2 π$ とすると、 $t$ が増える向きは $(1, 0, 0)$ から $(1, 0, 2 π)$ へ進む向きで、 $C$ とは逆です。この向きの曲線を $C_{0}$ とし、まず $C_{0}$ での値を求めてから最後に符号を変えます。

手順 2： $F (r (t)) = (sin t, t, cos t)$ 。

手順 3： $r^{'} (t) = (- sin t, cos t, 1)$ 。

手順 4： $F (r (t)) \cdot r^{'} (t) = - sin^{2} t + t cos t + cos t$ 。

手順 5：各項を積分します。
・ $\int_{0}^{2 π} sin^{2} t d t = \int_{0}^{2 π} \frac{1 - c o s 2 t}{2} d t = π$
・部分積分より $\int_{0}^{2 π} t cos t d t = [t sin t]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} sin t d t = 0 - [- cos t]_{0}^{2 π} = 0$
・ $\int_{0}^{2 π} cos t d t = 0$
よって $\int_{C_{0}} F \cdot d r = - π + 0 + 0 = - π$ です。

手順 6： $C = - C_{0}$ なので $\int_{C} F \cdot d r = - (- π) = π$ となります。

答え: $π$

よくある誤り

$r^{'} (t)$ を掛け忘れて $\int_{a}^{b} (P + Q + R) d t$ のように計算してしまう誤り。正しくは $d x = x^{'} (t) d t$ などとして $\int_{a}^{b} {P x^{'} (t) + Q y^{'} (t) + R z^{'} (t)} d t$ 。上の例では $\int_{0}^{2 π} (sin t + t + cos t) d t$ ではなく $\int_{0}^{2 π} (- sin^{2} t + t cos t + cos t) d t$ を計算する
内積の代わりに速さ $∣ r^{'} (t) ∣$ を掛けてしまう誤り（例えば $\int ∣ F ∣ ∣ r^{'} (t) ∣ d t$ ）。ベクトル場の線積分は進む向きの成分だけを集めるので、正しくは内積 $F (r (t)) \cdot r^{'} (t)$ を積分する
向きを逆にするとき、表示を $r (a + b - s)$ に取り替えたうえで積分区間も $\int_{b}^{a}$ に入れ替えてしまい、符号の反転が二重になって元の値に戻る誤り。表示を替えたら区間は $\int_{a}^{b}$ のままにする。あるいは表示を替えずに $\int_{b}^{a} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) d t$ とする。どちらの方法でも結果は $- \int_{C} F \cdot d r$ になる
$F$ への代入を一部の変数だけで済ませてしまう誤り。例えば $F = (y, z, x)$ の第 3 成分を $x$ のまま残して積分する。正しくは $x = cos t$ も代入して $cos t$ とし、被積分関数を $t$ だけの式にしてから積分する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

グリーンの定理（大学数学ベクトル解析）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））