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ベクトル解析の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間のベクトル場
$F (x, y, z) = (x^{2} y + x y^{2} + e^{x} sin z, 3 x + z cos (y^{2}), e^{x y} + x y z^{2})$
と、直方体
$V = {(x, y, z) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 3}$
を考える。 $V$ の表面（6 つの面）から底面 $z = 0$ を取り除いた残りの 5 つの面からなる曲面を $S$ とし、 $S$ の単位法線ベクトル $n$ は $V$ の外側を向くものとする。面積分
$\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ストークスの定理（説明と入口の問題）
ベクトル場の線積分（説明と入口の問題）
勾配・発散・回転（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

5 つの面それぞれで面積分を計算するのではなく、ストークスの定理で $S$ の境界曲線上の線積分に書き換えましょう。

ヒント 2

$S$ の境界は底面 $z = 0$ の長方形の周です。外向き法線と整合する向きは、 $z$ 軸の正の側から見て反時計回りになります。 $z = 0$ では $F \cdot d r = (x^{2} y + x y^{2}) d x + 3 x d y$ です。

ヒント 3

辺 $x = 2$ （ $y : 0 \to 1$ ）上の積分は $6$ 、辺 $y = 1$ （ $x : 2 \to 0$ ）上の積分は $\int_{2}^{0} (x^{2} + x) d x$ 、残りの 2 辺上の積分は $0$ になります。

答えと解説

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\frac{4}{3}

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解説を読む

方針 5 つの面それぞれで面積分を直接計算するのは大変なので、ストークスの定理を使って $S$ の境界曲線上の線積分に書き換える。

参考までに回転を計算すると、 $F = (P, Q, R)$ として
$\nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) = (x e^{x y} + x z^{2} - cos (y^{2}), e^{x} cos z - y e^{x y} - y z^{2}, 3 - x^{2} - 2 x y)$
となり、各面での直接計算は煩雑である。

境界とその向き $S$ の境界 $C$ は、底面 $z = 0$ の長方形の周
$(0, 0, 0) \to (2, 0, 0) \to (2, 1, 0) \to (0, 1, 0) \to (0, 0, 0)$
である。向きは次のように決まる。たとえば側面 $x = 2$ では法線が $n = (1, 0, 0)$ で、曲面はこの辺より上（ $z > 0$ ）にある。法線の向きを頭にして境界を進むとき曲面が左側に来るのは $y$ が増える向きである。よって $C$ は $z$ 軸の正の側から見て反時計回りに 1 周する。 $F$ は $R^{3}$ 全体で $C^{1}$ 級で、 $S$ は区分的に滑らかな向き付けられた曲面なので、ストークスの定理より
$\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S = \oint_{C} F \cdot d r .$

線積分の計算 $C$ 上では $z = 0$ , $d z = 0$ なので、 $P = x^{2} y + x y^{2}$ , $Q = 3 x$ となり、 $F \cdot d r = (x^{2} y + x y^{2}) d x + 3 x d y$ である。4 つの辺ごとに計算する。

$C_{1}$ : $y = 0$ , $x : 0 \to 2$ 。 $P = 0$ , $d y = 0$ より積分は $0$ 。
$C_{2}$ : $x = 2$ , $y : 0 \to 1$ 。 $d x = 0$ , $Q = 6$ より $\int_{0}^{1} 6 d y = 6$ 。
$C_{3}$ : $y = 1$ , $x : 2 \to 0$ 。 $d y = 0$ , $P = x^{2} + x$ より $\int_{2}^{0} (x^{2} + x) d x = - (\frac{8}{3} + 2) = - \frac{14}{3}$ 。
$C_{4}$ : $x = 0$ , $y : 1 \to 0$ 。 $d x = 0$ , $Q = 0$ より積分は $0$ 。

したがって
$\oint_{C} F \cdot d r = 0 + 6 - \frac{14}{3} + 0 = \frac{4}{3} .$

別解（検算） 底面 $D = [0, 2] \times [0, 1]$ （ $z = 0$ ）に上向き法線 $k$ を付けた面も同じ境界 $C$ をもつ。ストークスの定理をこの面に適用すると
$\iint_{D} (3 - x^{2} - 2 x y) d x d y = \int_{0}^{2} (3 - x^{2} - x) d x = 6 - \frac{8}{3} - 2 = \frac{4}{3}$
となり、一致する。

答えは $\frac{4}{3}$ である。

別解

$\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$ なので、閉曲面 $\partial V$ 上での $\nabla \times F$ の外向き法線面積分は 0 である（発散定理）。したがって、底面 $B$ （ $z = 0$ 、外向き法線 $- k$ ）を用いて
$\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S = - \iint_{B} (\nabla \times F) \cdot (- k) d S = \iint_{B} (\nabla \times F)_{z} d x d y .$
$(\nabla \times F)_{z} = \partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1}$ であり、 $F_{2} = 3 x + z cos (y^{2})$ より $\partial_{x} F_{2} = 3$ 、 $F_{1} = x^{2} y + x y^{2} + e^{x} sin z$ より $\partial_{y} F_{1} = x^{2} + 2 x y$ 。よって被積分関数は $3 - x^{2} - 2 x y$ （ $z$ に依らない）。
$\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (3 - x^{2} - 2 x y) d y d x = 6 - \frac{8}{3} - 2 = \frac{4}{3} .$
検算: ストークスの定理でも、境界の長方形（ $z = 0$ ）の線積分は同じ値になる。 $z = 0$ では $F_{1} = x^{2} y + x y^{2}$ , $F_{2} = 3 x$ 。反時計回りの周回積分は、 $y = 0$ 辺で $F_{1} = 0$ 、 $x = 2$ 辺で $\int_{0}^{1} 6 d y = 6$ 、 $y = 1$ 辺で $x$ が 2 から 0 へ進み $- \int_{0}^{2} (x^{2} + x) d x = - (8/3 + 2)$ 、 $x = 0$ 辺で $F_{2} = 0$ 。合計 $6 - 8/3 - 2 = 4/3$ で一致する。

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