ベクトル解析の問題

方針：ストークスの定理で、半球面を円板に取り替える。

1. 境界と向きを確認する。
$S$ の境界 $C$ は $z=0$ とおいて得られる円 $x^2+y^2=4,z=0$ である。外向き法線は上半球面では上向きの成分をもつので、右ねじの関係から $C$ の向きは $z$ 軸の正の側から見て反時計回りになる。ストークスの定理より
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$

2. 同じ境界をもつ扱いやすい曲面に取り替える。
同じ $C$（同じ向き）を境界にもつ円板 $D=\{(x,y,0)\mid x^2+y^2\le 4\}$ を考える。$C$ が反時計回りなので、右ねじの関係から $D$ の法線は上向き $\mathbf{k}=(0,0,1)$ にとる。もう一度ストークスの定理を使うと
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_D(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{k}dS.$$

3. 回転の $z$ 成分を計算する。
$P=-3y+z^2,Q=x+yz$ とすると
$$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{k}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-3)=4.$$

4. 円板上で積分する。
$${\iint }_{D}4dS=4\times (\text{円板の面積})=4\times \pi \cdot 2^2=16\pi .$$

（確認）$C$ を $\mathbf{r}(t)=(2\cos t,2\sin t,0)(0\le t\le 2\pi )$ と表すと、$\mathbf{F}=(-6\sin t,2\cos t,0)$、${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(-2\sin t,2\cos t,0)$ より
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_0^{2\pi }(12{\sin }^{2}t+4{\cos }^{2}t)dt=12\pi +4\pi =16\pi$$
となり一致する。

よって求める値は $16\pi$ である。

ストークスの定理より、$S$ の境界 $C$ は $z=0$ 上の円 $x^2+y^2=4$ である。$S$ の法線が外向きなので、$C$ は $z$ 軸の正の側から見て反時計回りに向きづける。

$C$ 上では $z=0$ だから $\mathbf{F}=(-3y,x,0)$ となる。したがって
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\oint }_C(-3ydx+xdy)$$
である。$x=2\cos t,y=2\sin t(0\le t\le 2\pi )$ とおくと、$dx=-2\sin tdt,dy=2\cos tdt$ なので
$${\int }_0^{2\pi }\left(-3\cdot 2\sin t\cdot (-2\sin t)+2\cos t\cdot 2\cos t\right)dt={\int }_0^{2\pi }(12{\sin }^{2}t+4{\cos }^{2}t)dt=12\pi +4\pi =16\pi .$$

検算として、回転を直接計算する。
$$\nabla \times \mathbf{F}=(xz-y,2z-yz,4)$$
である。$S$ と同じ境界をもつ円板 $D:z=0,x^2+y^2\le 4$ を考え、法線を上向き $\mathbf{k}$ にとる。$\nabla \times \mathbf{F}$ は発散が 0 のベクトル場ではないが、ストークスの定理は境界が同じなら曲面によらず成り立つので、円板上で計算してよい。このとき $(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{k}=4$ であり、面積が $4\pi$ だから $4\cdot 4\pi =16\pi$ となり、上の結果と一致する。

答え: $16\pi$