この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間のベクトル場
$F (x, y, z) = (- 2 y + z e^{x}, 4 x + x y^{2} + z sin y, x^{2} y z)$
と、円錐面の一部
$S = {(x, y, z) z = 3 - x^{2} + y^{2}, z \geq 0}$
を考える。 $S$ の単位法線ベクトル $n$ は $z$ 成分が正の向き（上向き）にとる。このとき、面積分
$\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ストークスの定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ストークスの定理を使います。円錐面 $S$ の境界の閉曲線 $C$ を求め、同じ $C$ を境界にもつもっと簡単な曲面に取り替えることを考えましょう。

ヒント 2

$S$ の境界は $x y$ 平面上の円 $x^{2} + y^{2} = 9$ です。上向きの法線に対して右ねじの関係で $C$ は上から見て反時計回り。同じ向きになる円板 $D$ （法線 $k$ ）では $(\nabla \times F) \cdot k = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ だけが必要です。

ヒント 3

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 6 + y^{2}$ なので、求める値は $\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 9} (6 + y^{2}) d x d y$ です。極座標で計算しましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{297 π}{4}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針：ストークスの定理で曲面を取り替える。

ストークスの定理は、向きのついた曲面 $S$ とその境界 $C$ について
$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S$
が成り立つというものである。ここで $C$ の向きは、法線 $n$ の向きに右ねじを進めるときにねじが回る向きにとる。

手順 1：境界 $C$ とその向きを調べる。
$S$ の縁は $z = 0$ のところ、つまり $x^{2} + y^{2} = 3$ であり、 $C$ は $x y$ 平面上の円 $x^{2} + y^{2} = 9, z = 0$ である。 $n$ は上向きなので、右ねじの関係から $C$ の向きは $z$ 軸の正の側から見て反時計回りになる。

手順 2：同じ境界をもつ扱いやすい曲面に取り替える。
同じ円 $C$ を境界にもつ円板
$D = {(x, y, 0) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 9}$
を考え、法線を $k = (0, 0, 1)$ （上向き）にとる。このとき右ねじの関係で決まる $C$ の向きも上から見て反時計回りであり、手順 1 の向きと一致する。よってストークスの定理を $S$ と $D$ のそれぞれに使うと
$\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S = \oint_{C} F \cdot d r = \iint_{D} (\nabla \times F) \cdot k d S .$

手順 3：回転を計算する。
$P = - 2 y + z e^{x}, Q = 4 x + x y^{2} + z sin y, R = x^{2} y z$ とおくと
$\nabla \times F = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) = (x^{2} z - sin y, e^{x} - 2 x y z, 6 + y^{2}) .$
$D$ 上では法線が $k$ なので、必要なのは $z$ 成分だけで
$(\nabla \times F) \cdot k = 6 + y^{2} .$

手順 4：円板上で積分する。
$D$ 上では $d S = d x d y$ なので、極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ （ $0 \leq r \leq 3, 0 \leq θ \leq 2 π$ 、ヤコビアン $r$ ）を使うと
$\iint_{D} 6 d x d y = 6 \cdot (π \cdot 3^{2}) = 54 π,$
$\iint_{D} y^{2} d x d y = \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ \int_{0}^{3} r^{3} d r = π \cdot \frac{81}{4} = \frac{81 π}{4} .$
ここで $\int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{1 - c o s 2 θ}{2} d θ = π$ を使った。

したがって
$\iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S = 54 π + \frac{81 π}{4} = \frac{297 π}{4} .$

別解

ストークスの定理を使う。 $S$ の境界 $C$ は $z = 0$ 上の円 $x^{2} + y^{2} = 9$ である。上向きの法線に対して、 $C$ は上から見て反時計回りの向きになる。

$z = 0$ 上では $F = (- 2 y, 4 x + x y^{2}, 0)$ となる。 $d z = 0$ なので
$\oint_{C} F \cdot d r = \oint_{C} (- 2 y d x + (4 x + x y^{2}) d y) .$

これにグリーンの定理を、円板 $D : x^{2} + y^{2} \leq 9$ 上で適用する。
$\frac{\partial}{\partial x} (4 x + x y^{2}) - \frac{\partial}{\partial y} (- 2 y) = 4 + y^{2} + 2 = 6 + y^{2} .$

$\iint_{D} (6 + y^{2}) d A = 6 \cdot 9 π + \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{3} r^{2} sin^{2} θ r d r d θ = 54 π + π \cdot \frac{81}{4} = \frac{297 π}{4} .$

検算として、 $z = 0$ の円板を面とみなして $(\nabla \times F)_{z}$ を直接積分する。 $(\nabla \times F)_{z} = \partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1} = (4 + y^{2} + z \cdot 0) + 2$ である。ここで $F_{2}$ の $x$ 微分は $4 + y^{2}$ であり、 $z sin y$ は $x$ によらない。よって $6 + y^{2}$ となり、上の結果と一致する。

答えは $\frac{297 π}{4}$ 。

ベクトル解析の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題