ベクトル解析の問題

$\mathbf{F}$ の成分はすべて ${\mathbb{R}}^3$ 全体で $C^1$ 級であり、$S$ は向き付けられたなめらかな曲面で、その境界は区分的になめらかな閉曲線なので、ストークスの定理が使える。

境界と向き. $S$ の境界 $C$ は $z=0$ のときの $4-x^2-y^2=0$、すなわち $xy$ 平面上の円 $x^2+y^2=4,z=0$ である。$S$ の法線が上向きなので、ストークスの定理で対応する $C$ の向きは、$z$ 軸の正の側から見て反時計回りである。よって
$$C:\mathbf{r}(t)=(2\cos t,2\sin t,0)(0\le t\le 2\pi )$$
とおける。

ストークスの定理.
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$

線積分の計算. $C$ 上では $z=0$、$dz=0$ なので
$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(0-2y)dx+(3x+0)dy+e^{xy}\cdot 0=-2ydx+3xdy$$
である。$dx=-2\sin tdt$、$dy=2\cos tdt$ を代入すると
$$-2ydx+3xdy=-2(2\sin t)(-2\sin t)dt+3(2\cos t)(2\cos t)dt=(8{\sin }^{2}t+12{\cos }^{2}t)dt$$
となる。${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}tdt={\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$ より
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=8\pi +12\pi =20\pi$$

（確認: $C$ を境界とする平面の円板 $D:x^2+y^2\le 4,z=0$（上向き）に対してもストークスの定理を使うと、$(\nabla \times \mathbf{F})$ の $z$ 成分は $\frac{\partial }{\partial x}(3x+yz)-\frac{\partial }{\partial y}(z^2-2y)=3+2=5$ なので、面積分は $5\times 4\pi =20\pi$ となり一致する。）

したがって求める値は $20\pi$ である。

$S$ の境界 $C$ は $z=0$, $x^2+y^2=4$ の円で、上向きの法線に対して正の向き（$z$ 軸の正の側から見て反時計回り）。ストークスの定理より ${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$。$C$ 上では $z=0$, $dz=0$ なので $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(-2y)dx+3xdy$。$x=2\cos t,y=2\sin t(0\le t\le 2\pi )$ とすると $dx=-2\sin tdt,dy=2\cos tdt$ なので、被積分関数は $(-4\sin t)(-2\sin t)+6\cos t\cdot 2\cos t=8{\sin }^{2}t+12{\cos }^{2}t$。積分すると $8\pi +12\pi =20\pi$。検算: グリーンの定理で ${\iint }_{x^2+y^2\le 4}(3-(-2))dA=5\cdot 4\pi =20\pi$。一致する。