勾配・発散・回転

スカラー場の勾配 $\nabla f$ 、ベクトル場の発散 $\nabla \cdot F$ と回転 $\nabla \times F$ 、ラプラシアン $\nabla \cdot (\nabla u)$ を偏微分で計算し、指定した点での値や成分を求められる

前提

偏微分と全微分（大学数学微分積分）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）

説明

3 変数の関数（スカラー場） $f (x, y, z)$ や、各点にベクトルを対応させるベクトル場 $F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ から、偏微分を使って新しい場を作る計算です。勾配 $\nabla f$ は $f$ が最も急に増える向きと増え方を表すベクトル場です。発散 $\nabla \cdot F$ は各点での「湧き出しの強さ」を表すスカラー場、回転 $\nabla \times F$ は各点での「渦の強さと軸の向き」を表すベクトル場です。電磁気学・流体力学・熱伝導などで場の性質を調べるときに使い、ラプラシアン $\nabla \cdot (\nabla u)$ は熱方程式や波動方程式に現れます。

なぜそうしてよいのか

記号 $\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$ を「偏微分を成分にもつベクトルのようなもの」とみなします。勾配は $\nabla f = (f_{x}, f_{y}, f_{z})$ です。全微分 $df = f_{x} d x + f_{y} d y + f_{z} d z$ は内積で $df = \nabla f \cdot d r$ （ $d r = (d x, d y, d z)$ ）と書けます。動く長さ $∣ d r ∣$ を一定にすると、 $df$ は $d r$ が $\nabla f$ と同じ向きのとき最大になります。だから $\nabla f$ は最も急に増える向きを指します。

発散 $\nabla \cdot F = \frac{\partial F _{1}}{\partial x} + \frac{\partial F _{2}}{\partial y} + \frac{\partial F _{3}}{\partial z}$ は、 $\nabla$ と $F$ の形式的な内積です。 $F$ を流れの速度と考え、辺が $Δ x, Δ y, Δ z$ の小さな箱を置きます。 $x$ 方向に垂直な 2 つの面から出ていく正味の量は ${F_{1} (x + Δ x) - F_{1} (x)} Δ y Δ z \approx \frac{\partial F _{1}}{\partial x} Δ x Δ y Δ z$ です。 $y, z$ 方向も同様に足して体積 $Δ x Δ y Δ z$ で割ると、上の和になります。つまり発散は「単位体積あたりの正味の流出量」です。回転 $\nabla \times F$ は、外積の成分計算をそのまま $\nabla$ と $F$ に当てはめたものです。たとえば第 3 成分 $\frac{\partial F _{2}}{\partial x} - \frac{\partial F _{1}}{\partial y}$ は、 $x y$ 平面内の小さな正方形を反時計回りに一周するとき、 $F$ に沿って進む量を面積で割ったものです。これは $z$ 軸まわりの渦の強さを表します。

ラプラシアンは勾配の発散で、 $\nabla \cdot (\nabla u) = u_{xx} + u_{y y} + u_{z z}$ です（ $Δ u$ とも書きます）。 $u$ が 2 回連続微分可能なら混合偏導関数の順序を交換できるので（ $u_{x y} = u_{y x}$ など）、 $\nabla \times (\nabla u) = 0$ が成り立ちます。同様に、 $F$ の各成分が 2 回連続微分可能なら $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$ も成り立ち、検算に使えます。

手順

求めるものを確認する。スカラー場 $f$ の勾配 $\nabla f$ とベクトル場の回転 $\nabla \times F$ はベクトル、発散 $\nabla \cdot F$ とラプラシアンはスカラーになる。
ベクトル場なら成分 $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ （それぞれ $x, y, z$ 方向）を書き出す。
必要な偏導関数を、他の変数を定数とみなして計算する。勾配なら $f_{x}, f_{y}, f_{z}$ 、発散なら $\partial_{x} F_{1}, \partial_{y} F_{2}, \partial_{z} F_{3}$ 、ラプラシアンなら $u_{xx}, u_{y y}, u_{z z}$ を求める。
定義に従って組み立てる。 $\nabla f = (f_{x}, f_{y}, f_{z})$ 、 $\nabla \cdot F = \partial_{x} F_{1} + \partial_{y} F_{2} + \partial_{z} F_{3}$ 、 $\nabla \cdot (\nabla u) = u_{xx} + u_{y y} + u_{z z}$ 。回転は外積と同じ形の $\nabla \times F = (\frac{\partial F _{3}}{\partial y} - \frac{\partial F _{2}}{\partial z}, \frac{\partial F _{1}}{\partial z} - \frac{\partial F _{3}}{\partial x}, \frac{\partial F _{2}}{\partial x} - \frac{\partial F _{1}}{\partial y})$ で、行列式 $e_{1} \partial_{x} F_{1} e_{2} \partial_{y} F_{2} e_{3} \partial_{z} F_{3}$ を第 1 行で展開した形として覚えてもよい。ここで $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ は $x, y, z$ 方向の単位ベクトル。
指定された点の座標は、すべて微分し終えてから代入する。

例題

ベクトル場 $F (x, y, z) = (y z, x^{2} z, x y^{2})$ について、点 $(1, 2, 3)$ における回転 $\nabla \times F$ を成分の組で求めよ。

例題の解答

手順 1：回転なので答えはベクトルになり、3 成分の組で表す。

手順 2：成分は $F_{1} = y z, F_{2} = x^{2} z, F_{3} = x y^{2}$ である。

手順 3：必要な偏導関数を求める。 $\frac{\partial F _{3}}{\partial y} = 2 x y$ 、 $\frac{\partial F _{2}}{\partial z} = x^{2}$ 、 $\frac{\partial F _{1}}{\partial z} = y$ 、 $\frac{\partial F _{3}}{\partial x} = y^{2}$ 、 $\frac{\partial F _{2}}{\partial x} = 2 x z$ 、 $\frac{\partial F _{1}}{\partial y} = z$ 。

手順 4：公式に当てはめて組み立てる。 $\nabla \times F = (2 x y - x^{2}, y - y^{2}, 2 x z - z)$

手順 5：微分し終えたので、 $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ を代入する。第 1 成分は $2 \cdot 1 \cdot 2 - 1^{2} = 3$ 、第 2 成分は $2 - 2^{2} = - 2$ 、第 3 成分は $2 \cdot 1 \cdot 3 - 3 = 3$ 。

よって、点 $(1, 2, 3)$ における回転は $(3, - 2, 3)$ である。

（検算）全体の発散は $\nabla \cdot (\nabla \times F) = \partial_{x} (2 x y - x^{2}) + \partial_{y} (y - y^{2}) + \partial_{z} (2 x z - z) = (2 y - 2 x) + (1 - 2 y) + (2 x - 1) = 0$ となり、恒等式と合う。

答え: $(3, - 2, 3)$

よくある誤り

回転の第 2 成分を $\frac{\partial F _{3}}{\partial x} - \frac{\partial F _{1}}{\partial z}$ としてしまう誤り。行列式の展開では第 2 成分に負号が付くので、正しくは $\frac{\partial F _{1}}{\partial z} - \frac{\partial F _{3}}{\partial x}$ 。成分の添字が $(2, 3), (3, 1), (1, 2)$ と巡回する形で確認するとよい。
発散をベクトル $(\partial_{x} F_{1}, \partial_{y} F_{2}, \partial_{z} F_{3})$ のまま答えてしまう誤り。正しくは和 $\partial_{x} F_{1} + \partial_{y} F_{2} + \partial_{z} F_{3}$ で、1 つの数（スカラー）になる。
ラプラシアンを一次偏導関数の 2 乗の和 $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} + f_{z}^{2}$ としてしまう誤り。正しくは二次偏導関数の和 $f_{xx} + f_{y y} + f_{z z}$ 。たとえば $f = x^{2} y$ なら $\nabla \cdot (\nabla f) = 2 y$ である。
点の座標を先に代入してから微分してしまう誤り。たとえば $F_{2} = x^{2} z$ に $x = 1$ を代入して $z$ にしてから $x$ で微分すると $0$ になるが、正しくは $\frac{\partial F _{2}}{\partial x} = 2 x z$ を求めてから代入し、点 $(1, 2, 3)$ で $6$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

位置ベクトルと r の関数の微分（大学数学ベクトル解析）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
ガウスの発散定理（大学数学ベクトル解析）
ストークスの定理（大学数学ベクトル解析）
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
デバイ遮蔽とデバイ長（大学物理プラズマ物理）
円柱プラズマの MHD 平衡（θ ピンチ・z ピンチ）（大学物理プラズマ物理）
磁気モーメントと勾配ドリフト（大学物理プラズマ物理）