ベクトル解析の問題

平面 $x+2y+2z=0$ は原点を通るので、$C$ は中心が原点、半径 $3$ の円である。$C$ を境界とする曲面として、平面上の円板
$$S=\{(x,y,z)\mid x+2y+2z=0,x^2+y^2+z^2\le 9\}$$
をとる。$C$ の向きは点 $(1,2,2)$ の側から見て反時計回りなので、右ねじの法則により $S$ の単位法線ベクトルは
$$\mathbf{n}=\frac{1}{3}(1,2,2)$$
となる（$|(1,2,2)|=3$）。

ストークスの定理の適用

$\mathbf{F}$ の成分は空間全体で $C^1$ 級で、$S$ は向きのついた滑らかな曲面、その境界 $C$ は $\mathbf{n}$ と整合する向きをもつので、ストークスの定理
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\mathrm{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
が使える。$\mathbf{F}=(P,Q,R)$ として
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=(1-0,2-0,3-2y)=(1,2,3-2y).$$
よって
$$(\mathrm{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}=\frac{1}{3}\{1+4+2(3-2y)\}=\frac{11-4y}{3}.$$

面積分の計算
$${\iint }_S(\mathrm{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS=\frac{11}{3}{\iint }_{S}dS-\frac{4}{3}{\iint }_{S}ydS.$$
$S$ は半径 $3$ の円板なので ${\iint }_{S}dS=9\pi$。

また、$S$ は原点に関する点対称移動 $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ で自分自身に移り、この移動で $y$ は $-y$ に変わるので
$${\iint }_{S}ydS=0$$
である（$S$ の重心が原点であることと同じ）。

したがって
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{11}{3}\cdot 9\pi -0=33\pi .$$

$C$ は原点を通る平面上の半径 $3$ の円（大円）。ストークスの定理を、$C$ が囲む円板 $D$（面積 $9\pi$）に用いる。向き: $(1,2,2)$ 側から見て反時計回りなので、法線は $\mathbf{n}=\frac{(1,2,2)}{3}$（見る側を向く）。

$\nabla \times \mathbf{F}=({\partial }_y{F}_3-{\partial }_z{F}_2,{\partial }_z{F}_1-{\partial }_x{F}_3,{\partial }_x{F}_2-{\partial }_y{F}_1)=(1,2,3-2y)$。

$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}=\frac{1+4+2(3-2y)}{3}=\frac{11-4y}{3}$。

$D$ は原点中心の円板なので $y$ の対称性より ${\iint }_{D}ydS=0$。よって ${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{11}{3}\cdot 9\pi =33\pi$。

検算: ${\iint }_{D}ydS=0$ は $D$ が原点について点対称で $y$ が奇関数であることから成り立つ。