ベクトル解析の問題

ステップ 1: 回転の計算.
$\mathbf{F}=(P,Q,R)=(z-2y,x+3z,x{y}^2)$ とすると
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=\left(2xy-3,1-y^2,3\right).$$

ステップ 2: 張る曲面と向き.
$C$ は平面 $z=1+y$ 上にあるので、$C$ を境界とする曲面として、この平面のうち円板 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$ の上にある部分 $S:z=1+y((x,y)\in D)$ をとる。$C$ は上から見て反時計回りなので、ストークスの定理に合う $S$ の向きは上向き（法線の $z$ 成分が正）である。$z=g(x,y)=1+y$ のとき、上向きの面積要素ベクトルは
$$\mathbf{n}dS=\left(-g_x,-g_y,1\right)dxdy=(0,-1,1)dxdy.$$

ステップ 3: ストークスの定理.
$\mathbf{F}$ は ${\mathbb{R}}^3$ 全体で $C^1$ 級なので、ストークスの定理より
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S\mathrm{rot}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_D\left[-(1-y^2)+3\right]dxdy={\iint }_D\left(2+y^2\right)dxdy.$$
$D$ の面積は $4\pi$ なので ${\iint }_{D}2dxdy=8\pi$。極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ を使うと
$${\iint }_D{y}^{2}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\theta d\theta {\int }_0^2{r}^{3}dr=\pi \cdot 4=4\pi .$$
よって
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=8\pi +4\pi =12\pi .$$

確認（直接計算）. $C:\mathbf{r}(t)=(2\cos t,2\sin t,1+2\sin t)(0\le t\le 2\pi )$ とすると
- $\int Pdx={\int }_0^{2\pi }(1-2\sin t)(-2\sin t)dt=4\pi$
- $\int Qdy={\int }_0^{2\pi }(2\cos t+3+6\sin t)(2\cos t)dt=4\pi$
- $\int Rdz={\int }_0^{2\pi }8\cos t{\sin }^{2}t\cdot 2\cos tdt=16\cdot \frac{\pi }{4}=4\pi$

で、合計 $12\pi$ となり一致する。

$C$ を縁とする曲面 $S$ を、平面 $z=1+y$ の円板部分 $\{(x,y,1+y):x^2+y^2\le 4\}$ にとる。向きは $C$ の向き（$z$ 軸の正の側から見て反時計回り）に合わせて上向きの法線とする。

回転を計算する。$\mathbf{F}=(P,Q,R)=(z-2y,x+3z,x{y}^2)$ より
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\left(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y\right)=\left(2xy-3,1-y^2,1-(-2)\right)=(2xy-3,1-y^2,3).$$
曲面 $z=g(x,y)=1+y$ に対し、上向きの面積要素は $d\mathbf{S}=(-g_x,-g_y,1)dxdy=(0,-1,1)dxdy$。よって
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=(-(1-y^2)+3)dxdy=(2+y^2)dxdy.$$
ストークスの定理より、$D=\{x^2+y^2\le 4\}$ として
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_D(2+y^2)dxdy.$$
極座標 $x=\rho \cos \varphi ,y=\rho \sin \varphi$ で
$${\iint }_{D}2dxdy=2\cdot 4\pi =8\pi ,{\iint }_D{y}^{2}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\varphi d\varphi {\int }_0^2{\rho }^{3}d\rho =\pi \cdot 4=4\pi .$$
合計は $12\pi$。

検算: $C$ を $x=2\cos \varphi ,y=2\sin \varphi ,z=1+2\sin \varphi$ ($0\le \varphi \le 2\pi$) とすると $d\mathbf{r}=(-2\sin \varphi ,2\cos \varphi ,2\cos \varphi )d\varphi$。$\mathbf{F}=(1-2\sin \varphi ,2\cos \varphi +3+6\sin \varphi ,8\cos \varphi {\sin }^2\varphi )$。内積は
$-2\sin \varphi +4{\sin }^2\varphi +4{\cos }^2\varphi +6\cos \varphi +12\sin \varphi \cos \varphi +16{\cos }^2\varphi {\sin }^2\varphi$。
$0$ から $2\pi$ で積分すると、$\sin \varphi ,\cos \varphi ,\sin \varphi \cos \varphi$ の項は $0$、$4({\sin }^2+{\cos }^2)=4$ から $8\pi$、$16{\sin }^2\varphi {\cos }^2\varphi =4{\sin }^{2}2\varphi$ から $4\pi$。合計 $12\pi$ で一致する。