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ベクトル解析の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間のベクトル場
$F (x, y, z) = (z^{2} - 3 y, 2 x + x z, y^{2})$
と、球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ と平面 $x + 2 y + 2 z = 3$ の交わりとしてできる円 $C$ を考える。点 $(3, 6, 6)$ は $C$ 上の点ではなく、平面 $x + 2 y + 2 z = 3$ の外にあって、平面から見て法線ベクトル $(1, 2, 2)$ の向きの側にある点である。 $C$ の向きは、この点 $(3, 6, 6)$ から $C$ を見たときに反時計回りとなる向きとする。線積分
$\oint_{C} F \cdot d r$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ストークスの定理（説明と入口の問題）
勾配・発散・回転（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$C$ を直接媒介変数表示するのは大変なので、ストークスの定理で $C$ を境界とする平面上の円板 $S$ 上の面積分に直す。 $C$ の向きから $S$ の法線ベクトルの向きを決める。

ヒント 2

$\nabla \times F = (2 y - x, 2 z, 5 + z)$ であり、 $n = \frac{1}{3} (1, 2, 2)$ との内積は $x, y, z$ の 1 次式になる。円板上の 1 次式の積分は「中心での値 × 面積」で求められる。

ヒント 3

原点から平面までの距離は $1$ なので、円の半径は $22$ 、中心は $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ である。中心で $(\nabla \times F) \cdot n$ の値を計算する。

答えと解説

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40 π

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解説を読む

円 $C$ の中心と半径 平面 $x + 2 y + 2 z = 3$ の法線ベクトルは $(1, 2, 2)$ で、その大きさは $3$ である。原点から平面までの距離は $\frac{∣0 - 3∣}{3} = 1$ なので、 $C$ の半径は $9 - 1^{2} = 22$ である。 $C$ の中心は原点から平面に下ろした垂線の足で、
$P_{0} = \frac{3}{9} (1, 2, 2) = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}) .$

向きと面の選び方 $C$ を境界とする平面上の円板を $S$ とする。点 $(3, 6, 6)$ は $3 + 12 + 12 = 27 > 3$ より平面の $(1, 2, 2)$ 側にあり、 $(3, 6, 6) = P_{0} + \frac{8}{3} (1, 2, 2)$ なので円の中心を通る法線上にある。法線ベクトルの先の側から見て反時計回りの向きは、その法線ベクトルの向きに右ねじが進む向きなので、この向きに対応する $S$ の単位法線ベクトルは
$n = \frac{1}{3} (1, 2, 2)$
である。 $F$ は $R^{3}$ 全体で $C^{1}$ 級なので、ストークスの定理より
$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot n d S .$

回転の計算 $F_{1} = z^{2} - 3 y, F_{2} = 2 x + x z, F_{3} = y^{2}$ より
$\nabla \times F = (\frac{\partial F _{3}}{\partial y} - \frac{\partial F _{2}}{\partial z}, \frac{\partial F _{1}}{\partial z} - \frac{\partial F _{3}}{\partial x}, \frac{\partial F _{2}}{\partial x} - \frac{\partial F _{1}}{\partial y}) = (2 y - x, 2 z, 5 + z) .$
したがって
$(\nabla \times F) \cdot n = \frac{1}{3} {(2 y - x) + 4 z + 2 (5 + z)} = \frac{- x + 2 y + 6 z + 10}{3} .$

面積分 被積分関数 $g (x, y, z) = \frac{- x + 2 y + 6 z + 10}{3}$ は 1 次式である。円板 $S$ は中心 $P_{0}$ に関して点対称なので、 $S$ 上で $g (r) - g (P_{0})$ （ $r - P_{0}$ の 1 次式）の積分は $0$ になる。よって
$\iint_{S} g d S = g (P_{0}) \times (S の面積) .$
ここで
$g (P_{0}) = \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + 4 + 10) = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5,$
$S$ の面積は $π (22)^{2} = 8 π$ である。

以上より
$\oint_{C} F \cdot d r = 5 \times 8 π = 40 π .$

別解

ストークスの定理を使う。 $C$ を境界とする平面上の円板 $D$ をとる。 $(3, 6, 6)$ は平面（ $x + 2 y + 2 z = 3$ より $3 + 12 + 12 = 27 > 3$ ）の $n = (1, 2, 2) /3$ 側にあるので、そこから見て反時計回りの向きは右手系で $n = \frac{1}{3} (1, 2, 2)$ に対応する。

回転: $F = (z^{2} - 3 y, 2 x + x z, y^{2})$ に対して
$\nabla \times F = (\partial_{y} F_{3} - \partial_{z} F_{2}, \partial_{z} F_{1} - \partial_{x} F_{3}, \partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1}) = (2 y - x, 2 z, 2 + z + 3) = (2 y - x, 2 z, z + 5)$ 。

$\nabla \times F \cdot n = \frac{( 2 y - x ) + 4 z + 2 ( z + 5 )}{3} = \frac{- x + 2 y + 6 z + 10}{3}$ 。

円 $C$ : 原点から平面までの距離は $\frac{3}{1 + 4 + 4} = 1$ 、半径は $9 - 1 = 22$ 、面積 $8 π$ 。円板の中心は $c = 1 \cdot n = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ 。被積分関数は $x, y, z$ の 1 次式なので、円板上の積分は中心での値 × 面積に等しい（円板の対称性により 1 次の項の平均は 0）。

中心での値: $\frac{- \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + 4 + 10}{3} = \frac{15}{3} = 5$ 。

よって $\oint_{C} F \cdot d r = 5 \times 8 π = 40 π$ 。

検算: $c$ が平面上にあることは $\frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 3$ で確認。球面と平面の交円の中心が $c$ であることも $∣ c ∣ = 1$ から整合する。

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