ベクトル解析の問題

回転の計算　$\mathbf{F}=(P,Q,R)=(-y+e^x,x+x{z}^2,y+z^3)$ とすると
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\left(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y\right)=\left(1-2xz,0,(1+z^2)-(-1)\right)=\left(1-2xz,0,z^2+2\right).$$

曲面の選び方　$C$ を境界にもつ曲面として、曲面 $z=xy$ のうち円板 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$ の上にある部分 $S$ をとる。$C$ は $z$ 軸の正の側から見て反時計回りなので、$S$ の向きは上向き（法線の $z$ 成分が正）とすれば、ストークスの定理の向きの条件を満たす。$\mathbf{F}$ は ${\mathbb{R}}^3$ 全体で $C^1$ 級なので定理が使え
$$I={\iint }_S\mathrm{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.$$

面積要素　$S$ を $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,xy)$ と表すと
$${\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y=(1,0,y)\times (0,1,x)=(-y,-x,1)$$
で $z$ 成分が正なので上向きであり、$d\mathbf{S}=(-y,-x,1)dxdy$。

被積分関数　$S$ 上で
$$\mathrm{rot}\mathbf{F}\cdot (-y,-x,1)=-y(1-2xz)+0\cdot (-x)+(z^2+2)=-y+2xyz+z^2+2.$$
ここで $S$ 上では $z=xy$ なので、$2xyz=2x^2{y}^2$、$z^2=x^2{y}^2$ となり
$$-y+2x^2{y}^2+x^2{y}^2+2=-y+3x^2{y}^2+2.$$
よって
$$I={\iint }_D\left(-y+3x^2{y}^2+2\right)dxdy.$$

各項の積分
- $D$ は $x$ 軸に関して対称で $-y$ は $y$ について奇関数なので、${\iint }_D(-y)dxdy=0$。
- 極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$（$dxdy=rdrd\theta$）により
$${\iint }_D{x}^2{y}^{2}dxdy={\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta d\theta {\int }_0^2{r}^{5}dr={\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^{2}2\theta }{4}d\theta \cdot \frac{64}{6}=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{32}{3}=\frac{8\pi }{3}.$$
よって $3{\iint }_D{x}^2{y}^{2}dxdy=8\pi$。
- ${\iint }_{D}2dxdy=2\cdot (\pi \cdot 2^2)=8\pi$。

結論
$$I=0+8\pi +8\pi =16\pi .$$

（確認）$x=2\cos t,y=2\sin t,z=2\sin 2t(0\le t\le 2\pi )$ と直接計算すると、$\oint (-y)dx={\int }_0^{2\pi }4{\sin }^{2}tdt=4\pi$、$\oint xdy={\int }_0^{2\pi }4{\cos }^{2}tdt=4\pi$、$\oint x{z}^{2}dy={\int }_0^{2\pi }16{\cos }^{2}t{\sin }^{2}2tdt=8\pi$、$e^{x}dx$ と $z^{3}dz$ は完全微分で $0$、$\oint ydz={\int }_0^{2\pi }8\sin t\cos 2tdt=0$ となり、合計 $16\pi$ で一致する。

$\mathrm{rot}\mathbf{F}=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)$ を計算する。$P=-y+e^x,Q=x+x{z}^2,R=y+z^3$ より、
$\mathrm{rot}\mathbf{F}=(1-2xz,0,2+z^2)$。

曲面 $S$ を $z=xy$（$D:x^2+y^2\le 4$ の上）とし、上向き法線をとる。これは $C$ の向き（$z$ 軸の正の側から見て反時計回り）と整合する。
$d\mathbf{S}=(-z_x,-z_y,1)dxdy=(-y,-x,1)dxdy$。

よって
$I={\iint }_D[-y(1-2xz)+2+z^2]dxdy$。$z=xy$ を代入すると、
$-y+2x^2{y}^2+2+x^2{y}^2=-y+2+3x^2{y}^2$。

各項を積分する。
- ${\iint }_D(-y)dA=0$（対称性）
- ${\iint }_{D}2dA=2\cdot 4\pi =8\pi$
- ${\iint }_D{x}^2{y}^{2}dA={\int }_0^2{r}^{5}dr{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta d\theta =\frac{32}{3}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{8\pi }{3}$。ここで ${\int }_0^2{r}^{5}dr=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta {\sin }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{4}$ を用いた。したがって $3x^2{y}^2$ の積分は $8\pi$。

合計は $I=0+8\pi +8\pi =16\pi$。

検算：$e^{x}dx$ の部分は保存的で閉曲線上の積分は 0 であり、残りの回転成分だけで上の計算になっていることを確認した。