曲面の媒介変数表示と面積要素

曲面を $r (u, v)$ や $z = f (x, y)$ で表し、法線ベクトル $r_{u} \times r_{v}$ と面積要素 $d S = ∣ r_{u} \times r_{v} ∣ d u d v$ （ $z = f (x, y)$ なら $1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} d x d y$ ）を求めて、曲面の面積を計算できる

前提

空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）

説明

空間内の曲面を2つの変数 $(u, v)$ で $r (u, v)$ と表すと、曲面上の各点での法線ベクトルや、曲面の小さな切れ端の面積（面積要素 $d S$ ）が外積で求められます。これを $(u, v)$ の動く範囲で重積分すれば、球面・放物面・円錐面などの曲がった面の面積が計算できます。面積要素は、のちに学ぶ面積分（曲面上での積分）の土台にもなります。

なぜそうしてよいのか

曲面を $r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))$ と表します。ここで $(u, v)$ は平面内の領域 $D$ を動き、異なる $(u, v)$ は（境界の一部を除いて）曲面上の異なる点に対応するものとします。 $(u, v)$ 平面の小さな長方形 $[u, u + Δ u] \times [v, v + Δ v]$ は、曲面上の小さな曲がった四角形に移ります。偏微分の定義から $r (u + Δ u, v) - r (u, v) \approx r_{u} Δ u$ 、 $r (u, v + Δ v) - r (u, v) \approx r_{v} Δ v$ です。したがってこの切れ端は、2辺が $r_{u} Δ u$ と $r_{v} Δ v$ の平行四辺形でほぼ近似できます。

外積の大きさは平行四辺形の面積なので、切れ端の面積は $∣ r_{u} Δ u \times r_{v} Δ v ∣ = ∣ r_{u} \times r_{v} ∣ Δ u Δ v$ です。これを足し合わせて細かくした極限が $S = \iint_{D} ∣ r_{u} \times r_{v} ∣ d u d v$ で、 $d S = ∣ r_{u} \times r_{v} ∣ d u d v$ を面積要素と呼びます。 $r_{u}, r_{v}$ はどちらも曲面に接するベクトルです。そのため $r_{u} \times r_{v}$ は両方に垂直、すなわち曲面の法線ベクトルになります。ただし $r_{u} \times r_{v} \neq = 0$ となる点で考えます。これはヤコビアンの考え方（小さな長方形が何倍の面積に写るか）を、平面から空間内の曲面へ広げたものです。

特に曲面が $z = f (x, y)$ のときは、 $r (x, y) = (x, y, f (x, y))$ と表せます。 $r_{x} = (1, 0, f_{x})$ 、 $r_{y} = (0, 1, f_{y})$ より $r_{x} \times r_{y} = (- f_{x}, - f_{y}, 1)$ となります。よって $d S = 1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} d x d y$ です。

手順

曲面を媒介変数で表し、変数の動く範囲 $D$ を決める。グラフなら $r (x, y) = (x, y, f (x, y))$ 、球面などは角度を使う。
偏微分ベクトル $r_{u}, r_{v}$ を成分ごとに計算する。
外積 $r_{u} \times r_{v}$ （法線ベクトル）を求め、その大きさ $∣ r_{u} \times r_{v} ∣$ を計算する。 $z = f (x, y)$ なら直接 $1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$ としてよい。
面積 $S = \iint_{D} ∣ r_{u} \times r_{v} ∣ d u d v$ を立てる。 $D$ が円板などなら極座標に変換し、ヤコビアン $r$ を掛ける。
累次積分で計算する。

例題

放物面 $z = x^{2} + y^{2}$ のうち $x^{2} + y^{2} \leq 2$ の部分の面積 $S$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $r (x, y) = (x, y, x^{2} + y^{2})$ と表す。範囲は $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2}$ である。
手順2: $r_{x} = (1, 0, 2 x)$ 、 $r_{y} = (0, 1, 2 y)$ 。
手順3: $r_{x} \times r_{y} = (- 2 x, - 2 y, 1)$ より、 $∣ r_{x} \times r_{y} ∣ = 1 + 4 x^{2} + 4 y^{2}$ である。これは $f_{x} = 2 x, f_{y} = 2 y$ を $1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$ に入れた値と一致する。
手順4: $S = \iint_{D} 1 + 4 (x^{2} + y^{2}) d x d y$ 。 $x = r cos θ, y = r sin θ$ （ $0 \leq r \leq 2, 0 \leq θ \leq 2 π$ ）と置き、 $d x d y = r d r d θ$ とすると $S = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} 1 + 4 r^{2} r d r d θ .$
手順5: $\int_{0}^{2} r 1 + 4 r^{2} d r = [\frac{1}{12} (1 + 4 r^{2})^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{1}{12} (27 - 1) = \frac{13}{6}$ 。よって $S = 2 π \cdot \frac{13}{6} = \frac{13 π}{3}$ 。

答え: $\frac{13 π}{3}$

よくある誤り

$d S = 1 + f_{x} + f_{y} d x d y$ のように、偏導関数を2乗し忘れる誤り。正しくは $d S = 1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} d x d y$ で、外積 $(- f_{x}, - f_{y}, 1)$ の大きさから来る。
極座標に直すときにヤコビアン $r$ を落とし、 $\int \int 1 + 4 r^{2} d r d θ$ としてしまう誤り。正しくは $d x d y = r d r d θ$ なので、被積分関数は $1 + 4 r^{2} r$ 。
球面 $r (θ, φ) = (a sin θ cos φ, a sin θ sin φ, a cos θ)$ で $d S = a^{2} d θ d φ$ としてしまう誤り。正しくは $∣ r_{θ} \times r_{φ} ∣ = a^{2} sin θ$ （ $0 \leq θ \leq π$ ）より $d S = a^{2} sin θ d θ d φ$ で、全面積は $4 π a^{2}$ 。
面積要素として外積 $r_{u} \times r_{v}$ そのもの、あるいはその一つの成分（例えば $z$ 成分 $1$ ）を使ってしまう誤り。これでは $x y$ 平面への影の面積になる。正しくは大きさ $∣ r_{u} \times r_{v} ∣$ を使う。外積の向き（ $r_{v} \times r_{u}$ かどうか）は大きさに影響しない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
第一基本形式とリーマン計量（大学院数学微分幾何）
球面調和関数による展開の係数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））