球面調和関数による展開の係数

球面上の関数（ $sin^{n} θ e^{im φ}$ や直交座標の多項式）を正規直交な $Y_{l}^{m}$ で展開し、直交性の積分や多項式の書き換えで係数 $a_{l m}$ を求められる

前提

ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）

この技能までの道筋（80 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
置換積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）

説明

単位球面上の関数 $f (θ, φ)$ は、球面調和関数 $Y_{l}^{m} (θ, φ)$ （ $l = 0, 1, 2, \dots$ 、 $m = - l, \dots, l$ ）の和 $f = \sum_{l, m} a_{l m} Y_{l}^{m}$ に展開できます。これはフーリエ級数の球面版で、静電ポテンシャルの多重極展開、水素原子などの角度部分の分解、角分布の解析などで使います。この技能では、直交性の積分 $a_{l m} = \int Y_{l}^{m} f d Ω$ を計算するか、 $f$ を $cos θ$ や $sin θ e^{\pm i φ}$ の多項式として書き換えて $Y_{l}^{m}$ の式と見比べることで、係数 $a_{l m}$ を求められるようにします。

なぜそうしてよいのか

単位球面を $r (θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)$ （ $0 \leq θ \leq π$ 、 $0 \leq φ < 2 π$ ）と表すと、 $∣ r_{θ} \times r_{φ} ∣ = sin θ$ なので、面積要素（立体角要素）は $d Ω = sin θ d θ d φ$ です。球面上の関数どうしの内積を $⟨ g, f ⟩ = \int g f d Ω$ で定めます。球面調和関数は、ルジャンドル多項式とその仲間を使って
$Y_{l}^{m} (θ, φ) = N_{l m} P_{l}^{m} (cos θ) e^{im φ}$
の形をした関数で、規格化定数 $N_{l m}$ を選んで $⟨ Y_{l}^{m}, Y_{l^{'}}^{m^{'}} ⟩ = δ_{l l^{'}} δ_{m m^{'}}$ （正規直交）としたものです。ここで $P_{l}^{0} = P_{l}$ で、 $P_{l}^{m} (x)$ は $(1 - x^{2})^{∣ m ∣/2} = sin^{∣ m ∣} θ$ に $x = cos θ$ の $l - ∣ m ∣$ 次多項式をかけた形です。低次のもの（位相は $Y_{l}^{- m} = (- 1)^{m} Y_{l}^{m}$ を満たす標準的な選び方）は
$Y_{0}^{0} = \frac{1}{4 π}, Y_{1}^{0} = \frac{3}{4 π} cos θ, Y_{1}^{\pm 1} = \mp \frac{3}{8 π} sin θ e^{\pm i φ},$
$Y_{2}^{0} = \frac{5}{16 π} (3 cos^{2} θ - 1), Y_{2}^{\pm 1} = \mp \frac{15}{8 π} sin θ cos θ e^{\pm i φ}, Y_{2}^{\pm 2} = \frac{15}{32 π} sin^{2} θ e^{\pm 2 i φ}$
です。

直交性は 2 つの部分から来ています。 $φ$ については $\int_{0}^{2 π} e^{- im φ} e^{i m^{'} φ} d φ = 2 π δ_{m m^{'}}$ なので $m$ の違うものは直交します。 $m$ が同じなら $θ$ 積分が残り、 $x = cos θ$ と置換すると $sin θ d θ = - d x$ で $\int_{- 1}^{1} P_{l}^{m} (x) P_{l^{'}}^{m} (x) d x$ となり、 $m = 0$ ならルジャンドル多項式の直交性 $\int_{- 1}^{1} P_{l} P_{l^{'}} d x = \frac{2}{2 l + 1} δ_{l l^{'}}$ そのものです（これから $N_{l 0} = \frac{2 l + 1}{4 π}$ が出る）。したがって $f = \sum a_{l m} Y_{l}^{m}$ と書けたなら、両辺と $Y_{l}^{m}$ の内積をとると右辺は 1 項だけ残り、
$a_{l m} = \int Y_{l}^{m} (θ, φ) f (θ, φ) d Ω$
が得られます。 $f$ が $x, y, z$ の $n$ 次以下の多項式（を球面に制限したもの）なら、 $x \pm i y = sin θ e^{\pm i φ}$ 、 $z = cos θ$ と書き直すと $l \leq n$ の $Y_{l}^{m}$ だけで表せるので、上の表と見比べて係数を読み取ることもできます。さらに $f$ が $n$ 次の同次多項式（ $n$ 次の項だけからなる）なら、反転 $(x, y, z) \to (- x, - y, - z)$ で $(- 1)^{n}$ 倍になり、 $Y_{l}^{m}$ は反転で $(- 1)^{l}$ 倍になるので、現れる $l$ は $n$ と偶奇が同じものに限られます（球面上では $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ なので、同次でない多項式では偶奇の制限はなくなります）。

手順

$f$ を角度で書く: $x = sin θ cos φ$ 、 $y = sin θ sin φ$ 、 $z = cos θ$ 、さらに $cos φ = \frac{e ^{i φ} + e ^{- i φ}}{2}$ などで $e^{im φ}$ の和にする
$e^{im φ}$ ごとに分ける。 $φ$ の直交性により、 $e^{im φ}$ の項は $Y_{l}^{m}$ （同じ $m$ ）にしか寄与しない
各 $m$ の部分を $sin^{∣ m ∣} θ \times (cos θ の多項式)$ の形にし、 $Y_{l}^{m}$ の式と見比べて書き換える（ $m = 0$ なら $cos θ$ の多項式をルジャンドル多項式で展開する）
または直交性の積分で直接求める: $a_{l m} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} Y_{l}^{m} f sin θ d θ d φ$ （ $θ$ 積分は $x = cos θ$ と置換する）
検算する: $f$ が $n$ 次の同次多項式（ $x, y, z$ の $n$ 次の項だけ）なら、 $l \leq n$ で $l$ の偶奇は $n$ と同じ。同次でなければ $n$ 次以下のすべての $l$ が現れうる。また $\sum ∣ a_{l m} ∣^{2} = \int ∣ f ∣^{2} d Ω$ が成り立つ

例題

単位球面上の関数 $f (θ, φ) = x z = sin θ cos θ cos φ$ を、正規直交な球面調和関数（ $d Ω = sin θ d θ d φ$ について $\int Y_{l}^{m} Y_{l^{'}}^{m^{'}} d Ω = δ_{l l^{'}} δ_{m m^{'}}$ ）で $f = \sum_{l, m} a_{l m} Y_{l}^{m}$ と展開する。ただし $Y_{2}^{\pm 1} (θ, φ) = \mp \frac{15}{8 π} sin θ cos θ e^{\pm i φ}$ とする。係数 $a_{21}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $cos φ = \frac{e ^{i φ} + e ^{- i φ}}{2}$ より $f = \frac{1}{2} sin θ cos θ e^{i φ} + \frac{1}{2} sin θ cos θ e^{- i φ}$ 。

手順 2: $e^{i φ}$ の項だけが $m = 1$ に寄与し、 $e^{- i φ}$ の項は $m = - 1$ に寄与する。

手順 3: $Y_{2}^{1} = - \frac{15}{8 π} sin θ cos θ e^{i φ}$ なので $sin θ cos θ e^{i φ} = - \frac{8 π}{15} Y_{2}^{1}$ 。よって $m = 1$ の部分は
$\frac{1}{2} sin θ cos θ e^{i φ} = - \frac{1}{2} \frac{8 π}{15} Y_{2}^{1} = - \frac{2 π}{15} Y_{2}^{1}$
で、 $a_{21} = - \frac{2 π}{15}$ 。

手順 4（積分による確認）:
$a_{21} = \int Y_{2}^{1} f d Ω = - \frac{15}{8 π} \int_{0}^{2 π} e^{- i φ} cos φ d φ \int_{0}^{π} sin^{2} θ cos^{2} θ sin θ d θ .$
$φ$ 積分は $\int_{0}^{2 π} \frac{1 + e ^{- 2 i φ}}{2} d φ = π$ 、 $θ$ 積分は $x = cos θ$ として $\int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) x^{2} d x = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$ 。よって $a_{21} = - \frac{15}{8 π} \cdot \frac{4 π}{15} = - \frac{16 π ^{2} \cdot 15}{225 \cdot 8 π} = - \frac{2 π}{15} = - \frac{30 π}{15}$ で一致する。

手順 5: $f = x z$ は 2 次の同次多項式なので $l \leq 2$ で偶数、つまり $l = 0, 2$ だけが現れうる。 $l = 2$ の成分だけというのも矛盾しない（同様に $a_{2, - 1} = + \frac{2 π}{15}$ ）。

答え: $- \frac{30 π}{15}$

よくある誤り

立体角要素の $sin θ$ を落とし、 $a_{l m} = \int \int Y_{l}^{m} f d θ d φ$ としてしまう誤り。単位球面の面積要素は $∣ r_{θ} \times r_{φ} ∣ d θ d φ = sin θ d θ d φ$ なので、正しくは $a_{l m} = \int \int Y_{l}^{m} f sin θ d θ d φ$ 。
複素共役を付け忘れ、 $a_{l m} = \int Y_{l}^{m} f d Ω$ としてしまう誤り。これでは $e^{im φ} e^{im φ}$ の積分になり、例えば $f = Y_{1}^{1}$ のとき $\int Y_{1}^{1} Y_{1}^{1} d Ω = 0$ となって $a_{11} = 1$ が出ない。正しくは $a_{l m} = \int Y_{l}^{m} f d Ω$ 。
$Y_{l}^{m}$ の位相（ $m > 0$ で付く負号）を落として、例えば $x z$ の $a_{21}$ を $+ \frac{2 π}{15}$ としてしまう誤り。問題で与えられた $Y_{2}^{1} = - \frac{15}{8 π} sin θ cos θ e^{i φ}$ の負号を含めて見比べるので、正しくは $a_{21} = - \frac{2 π}{15}$ 。
$z^{2} = cos^{2} θ$ のような関数を、2 次だから $l = 2$ の成分だけだと思い込む誤り。 $cos^{2} θ = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} P_{2} (cos θ)$ なので $l = 0$ の成分もあり、正しくは $cos^{2} θ = \frac{2 π}{3} Y_{0}^{0} + \frac{4}{3} \frac{π}{5} Y_{2}^{0}$ 。また $z^{2} + z$ のように同次でなければ、 $l = 1$ の成分も加わる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
単位球面上の関数 $f (θ, φ) = cos^{2} θ$ （ $0 \leq θ \leq π$ , $0 \leq φ < 2 π$ ）を、正規直交な球面調和関数 $Y_{l}^{m} (θ, φ)$ で
$f (θ, φ) = l = 0 \sum \infty m = - l \sum l a_{l m} Y_{l}^{m} (θ, φ)$
と展開する。ここで正規直交性は $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} Y_{l}^{m} Y_{l^{'}}^{m^{'}} sin θ d θ d φ = δ_{l l^{'}} δ_{m m^{'}}$ であり、
$Y_{0}^{0} = \frac{1}{4 π}, Y_{2}^{0} = \frac{5}{16 π} (3 cos^{2} θ - 1)$
である。係数 $a_{20}$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 2（大学院の講義の演習問題レベル）
単位球面上の関数
$f (θ, φ) = sin^{4} θ cos 2 φ$
を、正規直交な球面調和関数 $Y_{l}^{m} (θ, φ)$ で
$f (θ, φ) = l = 0 \sum \infty m = - l \sum l a_{l m} Y_{l}^{m} (θ, φ)$
と展開する。ここで $Y_{l}^{m}$ は
$\int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π} sin θ d θ Y_{l}^{m *} Y_{l^{'}}^{m^{'}} = δ_{l l^{'}} δ_{m m^{'}}$
を満たし、とくに
$Y_{4}^{2} (θ, φ) = \frac{3}{8} \frac{5}{2 π} sin^{2} θ (7 cos^{2} θ - 1) e^{2 i φ}$
である。展開係数 $a_{42}$ を求めよ。答えは根号と $π$ を含む正確な形で答えよ。

この技能の次に学べること

3j 記号と D 関数の積の積分（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
球テンソル演算子と選択則（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））