物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

単位球面上の関数 $f(\theta ,\phi )={\cos }^2\theta$（$0\le \theta \le \pi$, $0\le \phi <2\pi$）を、正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ で
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^l{a}_{lm}{Y}_l^m(\theta ,\phi )$$
と展開する。ここで正規直交性は ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }\overline{Y_l^m}{Y}_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}\sin \theta d\theta d\phi ={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$ であり、
$$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi }},Y_2^0=\sqrt{\frac{5}{16\pi }}\left(3{\cos }^2\theta -1\right)$$
である。係数 $a_{20}$ を求めよ。

角運動量演算子を $\mathbf{J}$ とし、$\hslash =1$ とする。オイラー角 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ で表した回転 $R$ に対するウィグナーの D 関数を
$$D_{m{m}^{\prime }}^j(\alpha ,\beta ,\gamma )=⟨jm|e^{-i\alpha J_z}{e}^{-i\beta J_y}{e}^{-i\gamma J_z}|j{m}^{\prime }⟩$$
で定義する。角運動量の固有状態の位相は Condon–Shortley の流儀に従うものとする。範囲は $0\le \alpha <2\pi$, $0\le \beta \le \pi$, $0\le \gamma <2\pi$ とし、$SO(3)$ 上の積分を
$$\int dRf(R)=\frac{1}{8{\pi }^2}{\int }_0^{2\pi }d\alpha {\int }_0^{\pi }\sin \beta d\beta {\int }_0^{2\pi }d\gamma f(\alpha ,\beta ,\gamma )$$
と規格化する（$\int dR1=1$）。このとき積分
$$I=\int dR{D}_{1,0}^1(R)D_{0,1}^1(R)[D_{1,1}^2(R){]}^{\ast }$$
の値を、既約分数で求めよ。

$k>0$ を定数とし、空間の点を極座標 $(r,\theta ,\phi )$ で表す（$z=r\cos \theta$）。平面波の部分波展開
$$e^{ikz}=\sum _{l=0}^{\infty }{i}^l(2l+1)j_l(kr)P_l(\cos \theta )$$
を用いて（$j_l$ は球ベッセル関数、$P_l$ はルジャンドル多項式）、関数 $\sin (kz)$ を
$$\sin (kz)=\sum _{l=0}^{\infty }{b}_l{j}_l(kr)P_l(\cos \theta )$$
と展開する。係数 $b_3$ を求めよ。

区間 $0\le x\le 1$ 上で、微分作用素 $L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+4$ に対する境界値問題
$$-\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4y=f(x),y(0)=0,\frac{dy}{dx}(1)=0$$
を考える。まず、$0<x^{\prime }<1$ に対して
$$\left(-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+4\right)G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),G(0,x^{\prime })=0,\frac{\partial G}{\partial x}(1,x^{\prime })=0$$
を満たすグリーン関数 $G(x,x^{\prime })$ を求める。次に、それを用いて $f(x)=1$（$0\le x\le 1$ で一様な源）のときの解 $y(x)={\int }_0^{1}G(x,x^{\prime })f(x^{\prime })d{x}^{\prime }$ を考える。このときの $y(1)$ の値を求めよ。答えは $e$（自然対数の底）を用いた正確な式で表せ。

コンドン・ショートレーの位相規約に従う正規直交な球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ について、3 つの積の積分（ゴーント係数）は
$$\int Y_{l_1}^{m_1}{Y}_{l_2}^{m_2}{Y}_{l_3}^{m_3}d\Omega =\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi }}\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& l_2& l_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)$$
で与えられる（$d\Omega =\sin \theta d\theta d\phi$）。また 3j 記号とクレブシュ・ゴルダン係数は
$$\left(\begin{array}{ccc}{j}_1& j_2& j_3\\ m_1& m_2& m_3\end{array}\right)=\frac{(-1{)}^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}}⟨j_1{m}_1{j}_2{m}_2|j_3,-m_3⟩$$
の関係にある。これらを用いて、積分
$$\int Y_1^0{Y}_1^0{Y}_2^{0}d\Omega$$
の値を求めよ。