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物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数）

角運動量演算子を $J$ とし、 $ℏ = 1$ とする。オイラー角 $(α, β, γ)$ で表した回転 $R$ に対するウィグナーの D 関数を
$D_{m m^{'}}^{j} (α, β, γ) = ⟨ j m ∣ e^{- i α J_{z}} e^{- i β J_{y}} e^{- iγ J_{z}} ∣ j m^{'} ⟩$
で定義する。角運動量の固有状態の位相は Condon–Shortley の流儀に従うものとする。範囲は $0 \leq α < 2 π$ , $0 \leq β \leq π$ , $0 \leq γ < 2 π$ とし、 $S O (3)$ 上の積分を
$\int d R f (R) = \frac{1}{8 π ^{2}} \int_{0}^{2 π} d α \int_{0}^{π} sin β d β \int_{0}^{2 π} d γ f (α, β, γ)$
と規格化する（ $\int d R 1 = 1$ ）。このとき積分
$I = \int d R D_{1, 0}^{1} (R) D_{0, 1}^{1} (R) [D_{1, 1}^{2} (R)]^{*}$
の値を、既約分数で求めよ。

この問題で使うもの

3j 記号と D 関数の積の積分（説明と入口の問題）
ウィグナーの D 関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（136 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

3 つの D 関数の積の積分は、2 つの D 関数の積を CG 係数で既約分解し、D 関数の直交関係を使うと CG 係数（3j 記号）の積で書ける。

ヒント 2

規格化したハール測度では $\int d R D_{m_{1} m_{1}^{'}}^{j_{1}} D_{m_{2} m_{2}^{'}}^{j_{2}} [D_{m_{3} m_{3}^{'}}^{j_{3}}]^{*} = \frac{1}{2 j _{3} + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j_{3} m_{3} ⟩ ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ j_{3} m_{3}^{'} ⟩$ が成り立つ。

ヒント 3

必要な CG 係数は $⟨ 11; 1 0∣2 1 ⟩$ と $⟨ 10; 1 1∣2 1 ⟩$ である。 $1 \otimes 1$ の $∣2, 1 ⟩$ を $∣1, m_{1} ⟩ ∣1, m_{2} ⟩$ で展開して読み取ればよい。

答えと解説

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\frac{1}{10}

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解説を読む

方法 1（直交性とクレブシュ–ゴルダン係数）

D 関数の積はクレブシュ–ゴルダン（CG）係数を用いて
$D_{m_{1} m_{1}^{'}}^{j_{1}} D_{m_{2} m_{2}^{'}}^{j_{2}} = J \sum ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ J M ⟩ ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ J M^{'} ⟩ D_{M M^{'}}^{J}$
と分解できる。ここで $M = m_{1} + m_{2}$ , $M^{'} = m_{1}^{'} + m_{2}^{'}$ である。また、規格化したハール測度に関する直交関係
$\int d R D_{M M^{'}}^{J} (R) [D_{m m^{'}}^{j} (R)]^{*} = \frac{1}{2 j + 1} δ_{J j} δ_{M m} δ_{M^{'} m^{'}}$
が成り立つ。この 2 つを組み合わせると
$\int d R D_{m_{1} m_{1}^{'}}^{j_{1}} D_{m_{2} m_{2}^{'}}^{j_{2}} [D_{m_{3} m_{3}^{'}}^{j_{3}}]^{*} = \frac{1}{2 j _{3} + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j_{3} m_{3} ⟩ ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ j_{3} m_{3}^{'} ⟩$
となる。

いまは $j_{1} = j_{2} = 1$ , $j_{3} = 2$ , $(m_{1}, m_{2}, m_{3}) = (1, 0, 1)$ , $(m_{1}^{'}, m_{2}^{'}, m_{3}^{'}) = (0, 1, 1)$ である。 $1 \otimes 1$ の $J = 2$ , $M = 1$ の状態は
$∣2, 1 ⟩ = \frac{1}{2} (∣1, 1 ⟩ ∣1, 0 ⟩ + ∣1, 0 ⟩ ∣1, 1 ⟩)$
なので、
$⟨ 11; 1 0∣2 1 ⟩ = ⟨ 10; 1 1∣2 1 ⟩ = \frac{1}{2}$
である。よって
$I = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10} .$

3j 記号で書けば $I = (1110 2 - 1) (1011 2 - 1)$ である。3j 記号と CG 係数の関係 $(j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} j_{3} m_{3}) = \frac{( - 1 ) ^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{2 j _{3} + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j_{3} - m_{3} ⟩$ で $m_{3} = - 1$ とすると符号因子は $(- 1)^{1} = - 1$ となるので、各因子はどちらも $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{10}$ であり、その積は $\frac{1}{10}$ で同じ値になる。

方法 2（直接計算による確認）

$D_{m m^{'}}^{j} = e^{- im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{- i m^{'} γ}$ と書ける。被積分関数の位相因子は $e^{- i α} e^{- iγ} \cdot e^{+ i α} e^{+ iγ} = 1$ となり、 $α$ と $γ$ の積分はそれぞれ $2 π$ を与える。したがって $x = cos β$ とおくと
$I = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} d x d_{10}^{1} d_{01}^{1} d_{11}^{2}$
である。Condon–Shortley 流儀では
$d_{10}^{1} = - \frac{sin β}{2}, d_{01}^{1} = \frac{sin β}{2}, d_{11}^{2} = \frac{( 1 + cos β ) ( 2 cos β - 1 )}{2}$
なので、
$d_{10}^{1} d_{01}^{1} d_{11}^{2} = - \frac{( 1 - x ^{2} ) ( 2 x ^{2} + x - 1 )}{4}$
となる。奇関数の部分は積分で消えるので、偶関数の部分だけを計算する。
$\int_{- 1}^{1} (1 - x^{2}) (2 x^{2} - 1) d x = \int_{- 1}^{1} (- 2 x^{4} + 3 x^{2} - 1) d x = - \frac{4}{5} + 2 - 2 = - \frac{4}{5}$
よって
$I = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) \cdot (- \frac{4}{5}) = \frac{1}{10}$
となり、方法 1 の結果と一致する。

別解

D 関数の積はクレブシュ–ゴルダン級数に展開できる。
$D_{10}^{1} D_{01}^{1} = J \sum ⟨ 11; 1 0∣ J 1 ⟩ ⟨ 10; 1 1∣ J 1 ⟩ D_{11}^{J}$
左辺は $m_{1} + m_{2} = 1$ 、 $m_{1}^{'} + m_{2}^{'} = 1$ なので $M = M^{'} = 1$ となり、 $J = 2$ の項だけが $[D_{11}^{2}]^{*}$ との積分に効く。

SO(3) 上の直交関係は次の通りである。
$\int d R D_{M M^{'}}^{J} [D_{m m^{'}}^{j}]^{*} = \frac{δ _{J j} δ _{M m} δ _{M^{'} m^{'}}}{2 j + 1}$
したがって $J = 2$ の項は $1/5$ を与え、他の $J$ の項は消える。

Condon–Shortley の位相では
$∣2, 1 ⟩ = \frac{1}{2} (∣1, 0 ⟩ + ∣0, 1 ⟩)$
なので、 $⟨ 11; 1 0∣2 1 ⟩ = ⟨ 10; 1 1∣2 1 ⟩ = 1/ 2$ である。

よって
$I = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$
（上の展開と直交関係の式に当てはめて求めた。別の方法での検算はしていない。）

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