エルミート行列とエルミート形式の符号

複素ベクトルの内積とエルミート行列 $H^{*} = H$ を扱い、エルミート行列の固有値が実数でユニタリ行列で対角化できることを使って、エルミート形式 $x^{*} H x$ の正・負の固有値の個数（符号数）を求められる。符号数が $P^{*} H P$ （ $P$ は正則）への取り替えで変わらないこと（シルベスターの慣性法則の複素版）を使える

前提

2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

説明

実対称行列と 2 次形式の話を、成分が複素数の場合に広げたものがエルミート行列とエルミート形式です。エルミート形式 $x^{*} H x$ は複素ベクトル $x$ を入れても必ず実数の値をとるので、「正になるか負になるか」を問うことができます。この技能では、 $H$ の固有値の符号を数えることで、エルミート形式の正・負の固有値の個数の組（符号数）を求め、さらに変数の取り替え $x = P y$ で符号数が変わらないことを使えるようになります。量子力学の観測量、複素信号の相関行列、複素数を係数とする最適化などで現れます。

なぜそうしてよいのか

複素ベクトルの内積とエルミート行列. 行列 $A$ の各成分を複素共役にして転置したものを $A^{*} = A^{T}$ と書きます（随伴行列）。 $(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$ が成り立ちます。 $C^{n}$ の内積は $⟨ x, y ⟩ = x^{*} y = \sum_{i} x_{i} y_{i}$ と定めます。共役を付けるのは、 $⟨ x, x ⟩ = \sum_{i} ∣ x_{i} ∣^{2} \geq 0$ （等号は $x = 0$ のときだけ）として長さを測れるようにするためです。共役を付けずに $x^{T} x$ とすると、 $x = (1, i)^{T}$ で $1 + i^{2} = 0$ となり長さになりません。 $H^{*} = H$ をみたす正方行列 $H$ をエルミート行列といいます。対角成分は $h_{j j} = h_{j j}$ より実数で、 $h_{k j} = h_{j k}$ です。実数成分なら、これはちょうど対称行列です。

エルミート形式は実数値で、固有値は実数、ユニタリ行列で対角化できる. $x^{*} H x$ は $1 \times 1$ 行列（数）なので、その共役は $(x^{*} H x)^{*} = x^{*} H^{*} x = x^{*} H x$ となり、自分自身の共役に等しい、つまり実数です。これをエルミート形式といいます。固有方程式 $det (λ E - H) = 0$ は複素数の範囲で必ず解をもつ（代数学の基本定理）ので固有値 $λ$ と固有ベクトル $x \neq = 0$ が存在し、 $H x = λ x$ から $x^{*} H x = λ x^{*} x$ です。左辺は実数、 $x^{*} x > 0$ なので $λ$ は実数です。次に、長さ $1$ の固有ベクトル $u_{1}$ （固有値 $λ_{1}$ ）をとると、 $u_{1}$ に直交する $v$ （ $u_{1}^{*} v = 0$ ）に対して $u_{1}^{*} (H v) = (H u_{1})^{*} v = λ_{1} u_{1}^{*} v = 0$ なので、 $u_{1}$ の直交補空間は $H$ で自分自身に移ります。この $n - 1$ 次元の空間で同じことを繰り返す（次元についての帰納法）と、 $H$ の固有ベクトルからなる正規直交基底 $u_{1}, \dots, u_{n}$ が得られます。実際に計算するときは、異なる固有値の固有ベクトルは自動的に直交するので、重複する固有値の固有空間の中でだけグラム・シュミットの直交化（複素内積で行う）をすればよいです。 $u_{i}$ を並べた $U$ は $U^{*} U = E$ をみたし（ユニタリ行列）、
$U^{*} H U = λ_{1} ⋱ λ_{n} (λ_{i} \in R)$
と対角化できます。そこで $x = U y$ と置くと $x^{*} H x = y^{*} U^{*} H U y = \sum_{i} λ_{i} ∣ y_{i} ∣^{2}$ となり、形式の符号は固有値の符号で決まります。正の固有値の個数 $p$ と負の固有値の個数 $q$ （重複度込み）の組 $(p, q)$ を符号数といいます。

慣性法則（なぜ $P^{*} H P$ で符号数が変わらないか）. 正則な $P$ で $x = P y$ と置くと $x^{*} H x = y^{*} (P^{*} H P) y$ で、 $(P^{*} H P)^{*} = P^{*} H^{*} P = P^{*} H P$ より $P^{*} H P$ もエルミート行列です。 $p$ は「形式が $0$ 以外のすべてのベクトルで正になる部分空間の次元の最大値」と言い換えられます（ $λ_{i} > 0$ の固有ベクトルで張る $p$ 次元空間では正、それより大きい次元の部分空間は $λ_{i} \leq 0$ の固有ベクトルで張る $n - p$ 次元空間と $0$ でないベクトルを共有してしまうので、どこかで $\leq 0$ になる）。この言い換えは座標の取り方によらず、正則な $P$ は部分空間を同じ次元の部分空間に移すので、 $H$ と $P^{*} H P$ の $p$ は等しくなります。 $q$ も $- H$ で同様です。これがシルベスターの慣性法則（複素版）です。したがって、固有値を求める代わりに、平方完成などで $P^{*} H P$ を対角行列にして対角成分の符号を数えてもかまいません。

手順

$H^{*} = H$ を確認する（対角成分が実数、 $(k, j)$ 成分が $(j, k)$ 成分の複素共役）
固有方程式 $det (λ E - H) = 0$ を立てる。 $2$ 次なら $λ^{2} - (tr H) λ + det H = 0$ で、 $tr H$ と $det H$ は実数になる
固有値（すべて実数）の符号を調べる。値を求めなくても、解と係数の関係（積 $= det H$ 、和 $= tr H$ ）で符号がわかることが多い
正の固有値の個数 $p$ 、負の固有値の個数 $q$ を重複度込みで数え、符号数 $(p, q)$ とする（ $0$ の固有値はどちらにも数えない）
別法: 平方完成で $x^{*} H x = \sum_{i} c_{i} ∣ y_{i} ∣^{2}$ （ $y = P^{- 1} x$ , $c_{i}$ は実数）の形にし、 $c_{i}$ の符号を数えても同じ $(p, q)$ になる（慣性法則）

例題

エルミート行列 $H = (2 1 - i 1 + i - 1)$ が定めるエルミート形式 $x^{*} H x$ （ $x \in C^{2}$ ）について、正の固有値の個数 $p$ と負の固有値の個数 $q$ の組 $(p, q)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1（エルミート性の確認）: 対角成分 $2, - 1$ は実数で、 $(2, 1)$ 成分 $1 - i$ は $(1, 2)$ 成分 $1 + i$ の複素共役なので $H^{*} = H$ です。

手順 2（固有方程式）: $tr H = 2 + (- 1) = 1$ 、 $det H = 2 \cdot (- 1) - (1 + i) (1 - i) = - 2 - 2 = - 4$ なので
$λ^{2} - λ - 4 = 0.$

手順 3（符号を調べる）: $2$ つの実数解 $λ_{1}, λ_{2}$ の積は $λ_{1} λ_{2} = det H = - 4 < 0$ なので、一方は正、他方は負です（実際 $λ = \frac{1 \pm 17}{2}$ ）。

手順 4（数える）: 正の固有値が $1$ 個、負の固有値が $1$ 個なので $(p, q) = (1, 1)$ 。

手順 5（別法で確認）: $x = (x_{1}, x_{2})^{T}$ として
$x^{*} H x = 2∣ x_{1} ∣^{2} + (1 + i) x_{1} x_{2} + (1 - i) x_{1} x_{2} - ∣ x_{2} ∣^{2} = 2 x_{1} + \frac{1 + i}{2} x_{2}^{2} - 2∣ x_{2} ∣^{2}$
です。実際、 $2 x_{1} + \frac{1 + i}{2} x_{2}^{2}$ を展開すると $2∣ x_{1} ∣^{2} + (1 + i) x_{1} x_{2} + (1 - i) x_{1} x_{2} + 2 \cdot \frac{1 + i}{2}^{2} ∣ x_{2} ∣^{2}$ で、最後の項は $2 \cdot \frac{1}{2} ∣ x_{2} ∣^{2} = ∣ x_{2} ∣^{2}$ なので、 $2∣ x_{2} ∣^{2}$ を引くと $- ∣ x_{2} ∣^{2}$ になります。 $y_{1} = x_{1} + \frac{1 + i}{2} x_{2}$ , $y_{2} = x_{2}$ は正則な変数の取り替えで、係数 $2, - 2$ の符号は正 $1$ 個・負 $1$ 個となり、慣性法則どおり一致します。

答え: $(1, 1)$

よくある誤り

共役を付けずに転置だけで $x^{T} H x$ や $H^{T} = H$ を考えてしまう誤り。複素ベクトルでは $x^{T} x$ が $x = (1, i)^{T}$ で $0$ になるなど、実数値の形式になりません。正しくは $x^{*} = x^{T}$ を使い、条件は $H^{*} = H$ （例: $(0 i i 0)$ は $H^{T} = H$ だがエルミートではない）
平方完成などで $P^{*} H P$ を対角行列にしたとき、その対角成分（平方完成の係数）を $H$ の固有値そのものだと思ってしまう誤り。慣性法則で保証されるのは正・負の個数だけです。上の例でも平方完成の係数は $2, - 2$ ですが、固有値は $\frac{1 \pm 17}{2}$ です。なお $P$ がユニタリ（ $P^{*} = P^{- 1}$ ）なら $P^{*} H P = P^{- 1} H P$ なので、固有値も保たれます
相似変換 $P^{- 1} H P$ と取り替え $P^{*} H P$ を混同する誤り。形式 $x^{*} H x$ で $x = P y$ と置くと現れるのは $P^{*} H P$ で、一般の正則 $P$ では $P^{*} H P$ の固有値は $H$ と違います（符号の個数だけが同じ）。例えば $H = E$ , $P = 2 E$ なら $P^{*} H P = 4 E$ で固有値は $4$ に変わります。 $P^{- 1} H P$ は固有値を保ちますが、一般の $P$ ではエルミートにすらなりません
固有値 $0$ を正や負に数えてしまう誤り。例えば $H = (1 - i i 1)$ は $λ^{2} - 2 λ = 0$ より固有値 $2, 0$ で、符号数は $(1, 0)$ であって $(2, 0)$ や $(1, 1)$ ではない（この形式は正定値ではなく半正定値）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とし、 $x = (x_{1} x_{2}) \in C^{2}$ に対して、エルミート形式
$h (x) = x^{*} H x, H = (1 - 3 i 3 i 1)$
を考える。ここで $x^{*}$ は $x$ の共役転置である。 $h$ の符号数を $(p, q)$ （ $p$ は $H$ の正の固有値の個数、 $q$ は負の固有値の個数。重複は重複度だけ数える）とするとき、組 $(p, q)$ を求めよ。

この技能の次に学べること

トーラス結び目の符号数（格子点の数え上げ）（大学院数学結び目理論）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））