線形代数の問題

手順 1: $H$ がエルミート行列であることを確かめる。
$H$ の共役転置は
$$H^{\ast }={\overline{H}}^T={\left(\begin{array}{cc}1& -3i\\ 3i& 1\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3i\\ -3i& 1\end{array}\right)=H$$
なので、$H$ はエルミート行列である。したがって $H$ の固有値はすべて実数で、$H$ はユニタリ行列 $U$ によって $U^{\ast }HU=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ と対角化できる。$x=Uy$ とおくと
$$h(x)=y^{\ast }(U^{\ast }HU)y={\lambda }_1|y_1{|}^2+{\lambda }_2|y_2{|}^2$$
となるので、符号数は固有値の正負の個数で決まる。

手順 2: 固有値を求める。
$$\det (H-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 3i\\ -3i& 1-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda {)}^2-(3i)(-3i)=(1-\lambda {)}^2-9$$
（$(3i)(-3i)=-9i^2=9$ である。）これを $0$ とおくと $1-\lambda =\pm 3$ より
$$\lambda =4,-2$$
どちらも実数で、エルミート行列の性質と合っている。

手順 3: 符号数を読み取る。
正の固有値は $4$ の 1 個、負の固有値は $-2$ の 1 個なので、$h(x)=4|y_1{|}^2-2|y_2{|}^2$ となり、
$$(p,q)=(1,1)$$

$H$ の固有多項式は $\det (H-\lambda E)=(1-\lambda {)}^2-(3i)(-3i)=(1-\lambda {)}^2-9$。$(1-\lambda {)}^2=9$ より $\lambda =1\pm 3$、すなわち $\lambda =4,-2$。検算: トレース $=1+1=2=4+(-2)$、行列式 $=1-(3i)(-3i)=1-9=-8=4\cdot (-2)$ で一致する。正の固有値が 1 個、負の固有値が 1 個なので $(p,q)=(1,1)$。