線形代数の問題

手順1：特性多項式を求める。
$E$ を 2 次単位行列として
$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 3& 2-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )(2-\lambda )-2\cdot 3={\lambda }^2-3\lambda +2-6={\lambda }^2-3\lambda -4.$$

手順2：特性方程式を解いて固有値を求める。
$${\lambda }^2-3\lambda -4=(\lambda -4)(\lambda +1)=0$$
より固有値は $\lambda =4,-1$ である。大きい方は ${\lambda }_1=4$。

手順3：固有空間を求める。
${\lambda }_1=4$ に対する固有空間は、連立 1 次方程式 $(A-4E)\mathbf{x}=0$ の解全体である。
$$A-4E=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -2\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$$
（第 2 行に第 1 行を加えた）。よって $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ は $-3x+2y=0$、すなわち $y=\frac{3}{2}x$ を満たす。$x=t$（$t$ は任意の実数）とおくと
$$\mathbf{x}=t\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{3}{2}\end{array}\right)$$
となり、固有空間は 1 次元で $\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{3}{2}\end{array}\right)$ が基底である。したがって $k=\frac{3}{2}$。

確認： $A\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{3}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+3\\ 3+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{3}{2}\end{array}\right)$ で正しい。

答えは $({\lambda }_1,k)=\left(4,\frac{3}{2}\right)$。

固有方程式は $\det (A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )-6={\lambda }^2-3\lambda -4=(\lambda -4)(\lambda +1)=0$ より、固有値は $4,-1$。大きい方は ${\lambda }_1=4$。
$(A-4I)v=0$ は $\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 3& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$ で、$-3x+2y=0$ すなわち $y=\frac{3}{2}x$。$x=1$ とすると $k=\frac{3}{2}$。
検算：$A\left(\begin{array}{c}1\\ 3/2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+3\\ 3+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}1\\ 3/2\end{array}\right)$ となり成り立つ。