線形代数の問題

手順 1：特性多項式をつくる。 $E$ を 2 次単位行列とすると
$$\det (A-\lambda E)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 1\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|=(4-\lambda )(3-\lambda )-1\cdot 2={\lambda }^2-7\lambda +10.$$

手順 2：特性方程式を解いて固有値を求める。
$${\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)=0$$
より $\lambda =2,5$。$\alpha <\beta$ なので $\alpha =2,\beta =5$。

手順 3：固有値 $\alpha =2$ の固有空間を求める。 $W(2)$ は連立 1 次方程式 $(A-2E)\mathbf{x}=0$ の解全体である。
$$A-2E=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$
（第 2 行から第 1 行を引いた）。よって $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ は $2x+y=0$ を満たせばよく、$x=t$ とおくと $y=-2t$。したがって
$$W(2)=\left\{t\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)|t\in \mathbb{R}\right\}$$
であり、$W(2)$ は 1 次元で、第 1 成分が $1$ の基底は $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ である。よって $c=-2$。

（確認：$A\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-2\\ 2-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$。）

以上より $(\alpha ,\beta ,c)=(2,5,-2)$。

特性方程式は $\det (A-\lambda E)=(4-\lambda )(3-\lambda )-2={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -2)(\lambda -5)=0$ より、固有値は $2,5$。よって $\alpha =2,\beta =5$。

$\alpha =2$ のとき $A-2E=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$ で、$\left(\begin{array}{c}1\\ c\end{array}\right)$ が固有ベクトルなら $2+c=0$ より $c=-2$。

検算: $A\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-2\\ 2-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ で成り立つ。トレース $7=2+5$、行列式 $10=2\cdot 5$ も一致。