線形代数の問題

方針　$A$ の $(i,j)$ 余因子を ${\tilde{a}}_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$（$M_{ij}$ は第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いた小行列式）とします。余因子行列 $\tilde{A}$ は、$(i,j)$ 成分が ${\tilde{a}}_{ji}$ である行列です（添字が入れかわることに注意します）。$|A|\ne 0$ のとき
$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\tilde{A}$$
が成り立つので、$A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分は $\frac{{\tilde{a}}_{32}}{|A|}$ です。

手順 1：行列式を求める　第 1 行で余因子展開すると
$$|A|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=1\cdot 1-2\cdot (-2)+1\cdot (-1)=4$$
となります。$|A|=4\ne 0$ なので、$A$ は正則です。

手順 2：必要な余因子を求める　$(2,3)$ 成分に必要なのは $(3,2)$ 余因子 ${\tilde{a}}_{32}$ です。$A$ から第 3 行と第 2 列を取り除くと
$$M_{32}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right|=1\cdot 2-1\cdot 0=2$$
です。符号は $(-1{)}^{3+2}=-1$ なので
$${\tilde{a}}_{32}=-2$$
となります。

手順 3：成分を求める　
$$(A^{-1}{)}_{23}=\frac{{\tilde{a}}_{32}}{|A|}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$$

確かめ　$A^{-1}$ の第 3 列は $\frac{1}{4}({\tilde{a}}_{31},{\tilde{a}}_{32},{\tilde{a}}_{33}{)}^T$ です。${\tilde{a}}_{31}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3$、${\tilde{a}}_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1$ なので、第 3 列は ${\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)}^T$ です。これに $A$ を掛けると、各成分は
$$\frac{3}{4}-1+\frac{1}{4}=0,0-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0,\frac{3}{4}+0+\frac{1}{4}=1$$
となり、単位行列の第 3 列 $(0,0,1{)}^T$ に一致します。

よって答えは $-\frac{1}{2}$ です。

$\det A=1(1\cdot 1-2\cdot 0)-2(0\cdot 1-2\cdot 1)+1(0\cdot 0-1\cdot 1)=1+4-1=4$。
逆行列は $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\tilde{A}$ で、余因子行列 $\tilde{A}$ の $(i,j)$ 成分は余因子 $C_{ji}$ である。よって $(2,3)$ 成分は $C_{32}/\det A$ となる。
$C_{32}=(-1{)}^{3+2}\det \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=-2$。
したがって $(A^{-1}{)}_{23}=-2/4=-\frac{1}{2}$。
検算: 第3列 $\frac{1}{4}(C_{31},C_{32},C_{33})=\frac{1}{4}(3,-2,1)$ に対し、$A$ を掛けると $(3-4+1,-2+2,3+1)/4=(0,0,1)$ となり、$e_3$ に一致する。