線形代数の問題

2 次正方行列 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ は、$ad-bc\ne 0$ のとき逆行列をもち、
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$
となります。この公式を使います。

手順 1：$ad-bc$ を計算する。
$a=4,b=3,c=2,d=2$ なので
$$ad-bc=4\cdot 2-3\cdot 2=8-6=2.$$
$2\ne 0$ なので、$A$ は逆行列をもちます。

手順 2：公式に代入する。
$a$ と $d$ を入れ替え、$b$ と $c$ の符号を変えて、$\frac{1}{2}$ 倍します。
$$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{3}{2}\\ -1& 2\end{array}\right).$$

手順 3：検算する。
$$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4\cdot 1+3\cdot (-1)& 4\cdot (-\frac{3}{2})+3\cdot 2\\ 2\cdot 1+2\cdot (-1)& 2\cdot (-\frac{3}{2})+2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$
となり、単位行列になるので正しいです。

手順 4：$(1,2)$ 成分を読む。
1 行目・2 列目の成分は $-\frac{3}{2}$ です。

よって、求める成分は $-\frac{3}{2}$ です。

$\det A=4\cdot 2-3\cdot 2=2\ne 0$ なので逆行列が存在する。2 次正方行列 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ の逆行列は $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ である。よって $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{3}{2}\\ -1& 2\end{array}\right)$。$(1,2)$ 成分は $-\frac{3}{2}$。検算として $A{A}^{-1}$ の $(1,1)$ 成分は $4\cdot 1+3\cdot (-1)=1$、$(1,2)$ 成分は $4\cdot (-\frac{3}{2})+3\cdot 2=-6+6=0$、$(2,1)$ 成分は $2\cdot 1+2\cdot (-1)=0$、$(2,2)$ 成分は $2\cdot (-\frac{3}{2})+2\cdot 2=-3+4=1$ となり、単位行列になる。