線形代数の問題

2 次正方行列の逆行列の公式を使います。

公式 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ について、$ad-bc\ne 0$ のとき $A$ は逆行列をもち、
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$
です（対角成分 $a$ と $d$ を入れかえ、残りの 2 つ $b,c$ の符号を変えて、$ad-bc$ で割る）。

手順 1：$ad-bc$ を計算する。
$a=4,b=3,c=2,d=5$ なので
$$ad-bc=4\cdot 5-3\cdot 2=20-6=14$$
です。$14\ne 0$ なので $A$ は逆行列をもちます。

手順 2：公式に当てはめる。
$$A^{-1}=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -2& 4\end{array}\right)$$

手順 3：検算する。
$$A\cdot \frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -2& 4\end{array}\right)=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}4\cdot 5+3\cdot (-2)& 4\cdot (-3)+3\cdot 4\\ 2\cdot 5+5\cdot (-2)& 2\cdot (-3)+5\cdot 4\end{array}\right)=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}14& 0\\ 0& 14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$
となり、確かに逆行列です。

手順 4：$(2,1)$ 成分を読み取る。
2 行 1 列目の成分は
$$\frac{-2}{14}=-\frac{1}{7}$$
です。

$\det A=4\cdot 5-3\cdot 2=14$ である。2 次正方行列 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ の逆行列は $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ なので、$A^{-1}=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -2& 4\end{array}\right)$ となる。したがって $(2,1)$ 成分は $-\frac{2}{14}=-\frac{1}{7}$ である。
検算: $A^{-1}$ の第 1 列は $\frac{1}{14}(5,-2{)}^T$。$A$ をかけると、第 1 行は $(4\cdot 5+3\cdot (-2))/14=14/14=1$、第 2 行は $(2\cdot 5+5\cdot (-2))/14=0$ となり、単位行列の第 1 列に一致する。