線形代数の問題

方針 余因子行列 $\tilde{A}$ を使うと、$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\tilde{A}$ と表せる。$\tilde{A}$ の $(i,j)$ 成分は $A$ の $(j,i)$ 余因子 ${\Delta }_{ji}$ である（添字が入れかわることに注意）。したがって
$$(A^{-1}{)}_{23}=\frac{{\Delta }_{32}}{|A|}$$
となる。ここで ${\Delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}\times (A\text{ から第 }i\text{ 行と第 }j\text{ 列を除いた小行列式})$ である。

ステップ 1: $|A|$ を求める。 第 1 行で余因子展開すると
$$|A|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 1\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\right|=1\cdot 1-2\cdot (0-6)+1\cdot (0-3)=1+12-3=10.$$

ステップ 2: $(3,2)$ 余因子 ${\Delta }_{32}$ を求める。 $A$ から第 3 行と第 2 列を除くと $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ が残る。よって
$${\Delta }_{32}=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right|=-(1\cdot 2-1\cdot 0)=-2.$$

ステップ 3: 成分を計算する。
$$(A^{-1}{)}_{23}=\frac{{\Delta }_{32}}{|A|}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}.$$

確かめ $A^{-1}$ の第 2 行は $\frac{1}{10}({\Delta }_{12},{\Delta }_{22},{\Delta }_{32})$ である。${\Delta }_{12}=-\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 1\end{array}\right|=6$、${\Delta }_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 1\end{array}\right|=-2$ なので、第 2 行は $\frac{1}{10}(6,-2,-2)$ となる。これと $A$ の第 1, 2, 3 列との積はそれぞれ $\frac{6-6}{10}=0$、$\frac{12-2}{10}=1$、$\frac{6-4-2}{10}=0$ である。これは $A{A}^{-1}$ ではなく $A^{-1}A$ の第 2 行が $(0,1,0)$ になることを示しており、確かに正しい。

よって答えは $-\frac{1}{5}$ である。

まず $\det A$ を第1行で展開して求める。
$\det A=1\cdot (1\cdot 1-2\cdot 0)-2\cdot (0\cdot 1-2\cdot 3)+1\cdot (0\cdot 0-1\cdot 3)=1+12-3=10$

逆行列は $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\tilde{A}$ である。余因子行列 $\tilde{A}$ の $(i,j)$ 成分は余因子 $C_{ji}$ なので、$(A^{-1}{)}_{23}=C_{32}/\det A$ となる。

$C_{32}$ は第3行・第2列を除いた小行列式に符号 $(-1{)}^{3+2}$ を掛けたものである。
$C_{32}=(-1{)}^5\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right|=-2$

よって $(A^{-1}{)}_{23}=-2/10=-1/5$。

検算：$A^{-1}$ の第3列 $(x,y,z{)}^T$ は $A\mathbf{x}=e_3$ の解である。
$x+2y+z=0,y+2z=0,3x+z=1$
$y=-2z$ を第1式に代入すると $x-3z=0$ より $x=3z$。第3式から $9z+z=1$ なので $z=1/10$。
これより $y=-1/5$ で、第2成分は $-1/5$ となり一致する。