線形代数の問題

方針 $A$ と単位行列 $E$ を横に並べた $3\times 6$ 行列 $(A\mid E)$ を作り、行基本変形で左半分を $E$ にする。左半分が $E$ になれば $A$ は正則で、そのとき右半分が $A^{-1}$ になる。

手順 0（並べる）
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 2& 2& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

手順 1（第 1 列を掃き出す） 第 1 列の $(1,1)$ 成分 $1$ を軸にする。第 3 行から第 1 行を引く（第 3 行 $-$ 第 1 行）。
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& -1& 0& 1\end{array}\right)$$

手順 2（第 2 列を掃き出す） $(2,2)$ 成分 $1$ を軸にする。第 1 行から第 2 行の $2$ 倍を引く（第 1 行 $-2\times$ 第 2 行）。第 1 行は $(1,0,-1\mid 1,-2,0)$ になる。
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& -1& 1& -2& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& -1& 0& 1\end{array}\right)$$

手順 3（第 3 列を掃き出す） $(3,3)$ 成分 $1$ を軸にする。第 1 行に第 3 行を加え（第 1 行 $+$ 第 3 行）、第 2 行から第 3 行を引く（第 2 行 $-$ 第 3 行）。
- 第 1 行: $(1,0,-1\mid 1,-2,0)+(0,0,1\mid -1,0,1)=(1,0,0\mid 0,-2,1)$
- 第 2 行: $(0,1,1\mid 0,1,0)-(0,0,1\mid -1,0,1)=(0,1,0\mid 1,1,-1)$
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -2& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 1& -1& 0& 1\end{array}\right)$$

左半分が単位行列になったので $A$ は正則であり、右半分が逆行列である。
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$$

検算 $A$ の第 1 行 $(1,2,1)$ と $A^{-1}$ の各列との積は $0+2-1=1$、$-2+2+0=0$、$1-2+1=0$ となる。他の行についても同様に計算すると $A{A}^{-1}=E$ が確かめられる。

したがって、第 1 行の成分は $(0,-2,1)$ である。

まず $\det A=1\cdot (2-2)-2\cdot (0-1)+1\cdot (0-1)=0+2-1=1$ なので $A$ は正則である。

余因子を計算する。
- $C_{11}=0,C_{12}=1,C_{13}=-1$
- $C_{21}=-2,C_{22}=1,C_{23}=0$
- $C_{31}=1,C_{32}=-1,C_{33}=1$

$A^{-1}=\frac{1}{\det A}(C_{ji})$ より
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$$

掃き出し法でも同じ結果になる。$(A\mid E)$ に対して、第3行から第1行を引くと第3行は $(0,0,1\mid -1,0,1)$ となる。第2行から第3行を引くと、第2行は $(0,1,0\mid 1,1,-1)$ となる。第1行から第3行と第2行の2倍を引くと、第1行は $(1,0,0\mid 0,-2,1)$ となる。

検算として $A{A}^{-1}=E$ を確かめる。
- 第1列 $(0,1,-1{)}^T$ に対して、$A(0,1,-1{)}^T=(1,0,0{)}^T$
- 第2列 $(-2,1,0{)}^T$ に対して、$A(-2,1,0{)}^T=(0,1,0{)}^T$
- 第3列 $(1,-1,1{)}^T$ に対して、$A(1,-1,1{)}^T=(0,0,1{)}^T$

よって第1行は $(0,-2,1)$ である。