線形代数の問題

方針　$3\times 6$ 行列 $(A\mid E)$ に行基本変形を行い、左半分を単位行列 $E$ にする。左半分が $E$ になれば $A$ は正則で、そのとき右半分が $A^{-1}$ である。

$$(A\mid E)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 2& 2& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

手順 1（第 1 列の掃き出し）第 3 行から第 1 行を引く。
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 2& -1& 0& 1\end{array}\right)$$

手順 2（第 2 列の掃き出し、下側）第 3 行から第 2 行を引く。
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& -1& -1& 1\end{array}\right)$$
この時点で左半分の対角成分がすべて $1$ の上三角行列になったので、左半分を $E$ にできる。よって $A$ は正則である。

手順 3（第 3 列の掃き出し）第 2 行から第 3 行を引く。
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 2& -1\\ 0& 0& 1& -1& -1& 1\end{array}\right)$$

手順 4（第 2 列の掃き出し、上側）第 1 行から第 2 行を引く。
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& -2& 1\\ 0& 1& 0& 1& 2& -1\\ 0& 0& 1& -1& -1& 1\end{array}\right)$$

左半分が $E$ になったので、右半分が逆行列である。
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 1& 2& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$$

検算　$A{A}^{-1}$ を計算する。たとえば第 3 行 $(1,2,2)$ と各列の積は $0+2-2=0$、$-2+4-2=0$、$1-2+2=1$ となる。ほかの行も同様に計算すると $A{A}^{-1}=E$ となることが確かめられる。

したがって、$A^{-1}$ の第 1 行の成分は順に $(0,-2,1)$ である。

$\det A=1(2-2)-1(0-1)+0=1\ne 0$ なので $A$ は正則である。

行基本変形で確かめる。$(A\mid E)$ から始める。

$R_3\leftarrow R_3-R_1$：行 3 は $(0,1,2\mid -1,0,1)$。

$R_3\leftarrow R_3-R_2$：行 3 は $(0,0,1\mid -1,-1,1)$。これで左側が上三角になる。

$R_2\leftarrow R_2-R_3$：行 2 は $(0,1,0\mid 1,2,-1)$。

$R_1\leftarrow R_1-R_2$：行 1 は $(1,0,0\mid 0,-2,1)$。

よって
$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 1& 2& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$$

検算：$A{A}^{-1}$ の各行を計算する。
- 行 1：$(1,1,0)$ を使うと、$A^{-1}$ の行 1 + 行 2 $=(1,0,0)$。
- 行 2：$(0,1,1)$ を使うと、行 2 + 行 3 $=(0,1,0)$。
- 行 3：$(1,2,2)$ を使うと、$(0,-2,1)+(2,4,-2)+(-2,-2,2)=(0,0,1)$。

よって $A{A}^{-1}=E$ が確かめられた。

$(1,1),(1,2),(1,3)$ 成分は $(0,-2,1)$ である。