対称行列の直交対角化

実対称行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$$ を、回転行列 $$P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$$ を用いて $${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)({\lambda }_1>{\lambda }_2)$$ と直交対角化する。このとき $(\cos \theta ,\sin \theta )$ をこの順に組で求めよ。

実対称行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 2\end{array}\right)$$
を考える。実数 $\theta$ が $0\le \theta <\pi$ を満たし、回転行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
によって
$${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$
が成り立つとき、$\theta$ の値を求めよ。

$xy$ 平面上の曲線
$$C:5x^2+4xy+2y^2=6$$
を考える。左辺の 2 次形式を直交変換（回転）で標準形に直すと、$C$ は楕円であることがわかる。この楕円の長半径（長軸の長さの半分）と短半径（短軸の長さの半分）を、この順に組で求めよ。

実数 $x,y$ についての 2 次形式
$$Q(x,y)=5x^2+4xy+2y^2$$
を考える。$Q$ を直交変換によって標準形に直し、その符号を調べることで、$xy$ 平面上の曲線 $Q(x,y)=6$ の形を調べる。この曲線は楕円になる。この楕円の長軸の長さと短軸の長さを、この順に組で求めよ。

$K$ を $S^3$ 内の向き付けられた結び目とし、$F$ を $K$ の種数 $g$ の連結なザイフェルト曲面とする。$H_1(F;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^{2g}$ の基底 $a_1,\dots ,a_{2g}$ を $1$ つ選び、ザイフェルト行列を $V=(\mathrm{lk}(a_i,a_j^{+}){)}_{i,j}$（$a_j^{+}$ は $a_j$ を $F$ の正の側に押し出したもの）で定める。$K$ の符号数 $\sigma (K)$ を、実対称行列 $V+V^T$ の符号数（正の固有値の個数から負の固有値の個数を引いたもの）と定める。$g=0$ のときは $V$ を $0\times 0$ 行列とし、$\sigma (K)=0$ とする。

次の事実は用いてよい。
- $\sigma (K)$ はザイフェルト曲面と基底の選び方によらない。
- $V-V^T$ は $H_1(F;\mathbb{Z})$ の交叉形式を表す行列であり、$\det (V-V^T)=1$ である。

$K$ の種数を $g(K)$ とするとき、$\sigma (K)$ は偶数であり、かつ $|\sigma (K)|\le 2g(K)$ であることを証明せよ。

$S^2$ 上の向き付けられた $D^2$ 束 $E_1,E_2,E_3,E_4$ を考え、$E_i$ のオイラー数を $e_i$ とする。ここで
$$(e_1,e_2,e_3,e_4)=(-2,-2,3,-2)$$
とする。$E_i$ と $E_{i+1}$ $(i=1,2,3)$ を 1 点ずつ（底空間と繊維の役割を入れ替えて）プラミングして得られる、境界付きのコンパクトで連結な向き付けられた $4$ 次元 $C^{\infty }$ 級多様体を $X$ とする（直線状プラミング）。$X$ は単連結で、$H_2(X;\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^4$ は各 $E_i$ の零切断の像である埋め込まれた球面 $S_i$ のホモロジー類 $[S_i]$ を基底にもつ。各プラミング点での交叉の符号は $+1$ であるとし、したがって交叉形式 $Q_X$ の表現行列は
$$S_i\cdot S_i=e_i,S_i\cdot S_{i+1}=S_{i+1}\cdot S_i=1(i=1,2,3),|i-j|\ge 2\text{のとき}{S}_i\cdot S_j=0$$
で与えられる。

$X$ の符号数 $\sigma (X)$ と、境界 $\partial X$ の 1 次元整係数ホモロジー群 $H_1(\partial X;\mathbb{Z})$ の位数を、この順に組 $(\sigma (X),|H_1(\partial X;\mathbb{Z})|)$ として求めよ。

実数 $x,y,z$ の 2 次形式
$$Q(x,y,z)=2x^2+y^2-4xy-4yz$$
について、$x^2+y^2+z^2=1$ を満たしながら $(x,y,z)$ が動くときの $Q$ の最大値と最小値を、この順に組で求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、${\mathbb{R}}^n$ 上の実 2 次形式
$$q(x)=\sum _{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j\left(x={}^t(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n\right)$$
を考える。$q(x)={}^{t}xAx$ を満たす $n$ 次実対称行列 $A$ の正の固有値の個数を $p$、負の固有値の個数を $r$ とし（いずれも重複度を込めて数える）、組 $(p,r)$ を $q$ の符号という。$q$ の符号が $(1,n-1)$ であることを証明せよ。

ただし、実対称行列は直交行列によって対角化できること、および対角化可能な行列では各固有値の重複度がその固有空間の次元に等しいことは用いてよい。

$n\ge 2$ を整数、$k$ を $1\le k\le n-1$ を満たす整数とする。${\mathbb{S}}^n$ を $n$ 次実対称行列全体とし、$X,Y\in {\mathbb{S}}^n$ に対して $⟨X,Y⟩=\mathrm{tr}(XY)$、$X⪰0$ は $X$ が半正定値であること、$X⪯Y$ は $Y-X⪰0$ を表す。$I$ を $n$ 次単位行列とする。

$C\in {\mathbb{S}}^n$ の固有値を重複を込めて ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_n$ とし、${\lambda }_k>{\lambda }_{k+1}$ と仮定する。$W$ を、${\lambda }_k$ 以上の固有値に属する $C$ の固有空間すべての和 $W={\sum }_{\mu \ge {\lambda }_k}\mathrm{Ker}(C-\mu I)$ とし、$P$ を ${\mathbb{R}}^n$ から $W$ への直交射影の行列とする。半正定値計画
$$\text{maximize}⟨C,X⟩\text{subject to}\mathrm{tr}X=k,0⪯X⪯I,X\in {\mathbb{S}}^n$$
について、その最適解（実行可能解のうち $⟨C,X⟩$ が最大となるもの）は $P$ ただ一つであることを証明せよ。

ただし、実対称行列が直交行列で対角化できること、およびこの半正定値計画の最適値が ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_k$ であることは用いてよい。