線形代数の問題

$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ とおくと $Q={}^t\mathbf{x}S\mathbf{x}$、
$$S=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ -2& 1& -2\\ 0& -2& 0\end{array}\right)$$
である（$xy$ の係数 $-4$ を $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分に $-2$ ずつ分ける。$yz$ も同様）。

固有値　第 1 行で展開して
$$\det (S-\lambda E)=(2-\lambda )\{(1-\lambda )(-\lambda )-4\}+2\{(-2)(-\lambda )\}=(2-\lambda )({\lambda }^2-\lambda -4)+4\lambda$$
展開すると $-{\lambda }^3+3{\lambda }^2+6\lambda -8=-(\lambda -1)(\lambda -4)(\lambda +2)$。よって固有値は $4,1,-2$。

標準形　$S$ は実対称行列なので、直交行列 $P$ により ${}^{t}PSP=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)$ と対角化できる。$\mathbf{x}=P\mathbf{u}$、$\mathbf{u}={}^t(u,v,w)$ とおくと
$$Q=4u^2+v^2-2w^2$$
であり、$P$ は直交行列だから $x^2+y^2+z^2=u^2+v^2+w^2$。

最大・最小　$u^2+v^2+w^2=1$ のもとで
$$-2=-2(u^2+v^2+w^2)\le 4u^2+v^2-2w^2\le 4(u^2+v^2+w^2)=4$$
左の等号は $(u,v,w)=(0,0,\pm 1)$、右の等号は $(\pm 1,0,0)$ で成り立つ。たとえば固有値 $4$ の固有ベクトルは $(S-4E)\mathbf{x}=0$ から $(2,-2,1)$ の方向で、$(x,y,z)=\frac{1}{3}(2,-2,1)$ のとき $Q=\frac{1}{9}(8+4+16+8)=4$。

よって最大値 $4$、最小値 $-2$。

$Q={\mathbf{x}}^{T}M\mathbf{x}$、$M=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ -2& 1& -2\\ 0& -2& 0\end{array}\right)$（対称行列）。単位球面上の $Q$ の最大値・最小値は $M$ の最大・最小固有値。

特性多項式: $\mathrm{tr}M=3$、$2$ 次の主小行列式の和は $(2-4)+(0-0)+(0-4)=-6$、$\det M=2(0-4)-(-2)(0-0)+0=-8$ なので
$${\lambda }^3-3{\lambda }^2-6\lambda +8=(\lambda -1)(\lambda -4)(\lambda +2).$$
固有値は $4,1,-2$。最大値 $4$、最小値 $-2$。

検算: 固有値の和 $4+1-2=3=\mathrm{tr}M$、積 $-8=\det M$。$\lambda =4$ の固有ベクトルは $(2,-1,...)$ ではなく $(M-4E)\mathbf{v}=0$ を解くと $\mathbf{v}=(2,-2,-1)/3$ で、$Q=2\cdot \frac{4}{9}+\frac{4}{9}-4\cdot \frac{-4}{9}-4\cdot \frac{2}{9}=\frac{8+4+16-8}{9}\cdot$ ... $=\frac{20}{9}$ ではなく、実際に $M\mathbf{v}=\frac{1}{3}(4+4,-4-2+2,4)=\frac{1}{3}(8,-4,...)$ を確認する必要があるため、別の確認として $\lambda =-2$ のベクトル $(1,2,-2)/3$ で $Q=2\cdot \frac{1}{9}+\frac{4}{9}-4\cdot \frac{2}{9}-4\cdot \frac{-4}{9}=\frac{2+4-8+16}{9}=\frac{14}{9}$。

上の数値確認は符号を誤っているため整理し直す。固有値の確認は特性多項式の因数分解 $(\lambda -1)({\lambda }^2-2\lambda -8)$ と、和・積の一致で十分である。