線形代数の問題

手順 1：2 次形式を対称行列で表す。
$xy$ の係数 $4$ を半分ずつ $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分に分けると
$$Q(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$$
と書ける。$A$ は実対称行列である。

手順 2：$A$ の固有値を求める。
$$\det (A-\lambda E)=(5-\lambda )(2-\lambda )-4={\lambda }^2-7\lambda +6=(\lambda -1)(\lambda -6)$$
より、固有値は $\lambda =1,6$ である。

手順 3：正規直交な固有ベクトルを並べて直交行列を作る。
$\lambda =1$ のとき $A-E=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ より $2x+y=0$ なので、単位固有ベクトルは ${\mathbf{p}}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$。
$\lambda =6$ のとき $A-6E=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -4\end{array}\right)$ より $x=2y$ なので、単位固有ベクトルは ${\mathbf{p}}_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$。
${\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{p}}_2=\frac{2-2}{5}=0$ で直交している。$P=({\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2)$ とおくと $P$ は直交行列で（$\det P=1$ なので回転）、${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 6\end{array}\right)$ となる。

手順 4：標準形に直す。
$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$、すなわち $x=\frac{X+2Y}{\sqrt{5}},y=\frac{-2X+Y}{\sqrt{5}}$ とおくと
$$Q=X^2+6Y^2$$
となる。固有値 $1,6$ はともに正なので $Q$ は正定値であり、$Q=6$ は楕円を表す。

手順 5：曲線の形を読む。
$X^2+6Y^2=6$ の両辺を $6$ で割ると
$$\frac{X^2}{6}+\frac{Y^2}{1}=1.$$
直交変換（回転）は長さを変えないので、もとの曲線もこれと合同な楕円である。半長軸は $\sqrt{6}$、半短軸は $1$ だから、長軸の長さは $2\sqrt{6}$、短軸の長さは $2$ である。

よって答えは $\left(2\sqrt{6},2\right)$。

$Q$ の係数行列は $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$。固有方程式は ${\lambda }^2-7\lambda +6=0$ なので $\lambda =1,6$。固有値はどちらも正なので正定値で、直交変換により $Q=X^2+6Y^2$ となる。

曲線 $Q=6$ は $X^2+6Y^2=6$、すなわち $\frac{X^2}{6}+\frac{Y^2}{1}=1$ である。半軸の長さは $X$ 方向が $\sqrt{6}$、$Y$ 方向が $1$。$\sqrt{6}>1$ より、長軸の長さは $2\sqrt{6}$、短軸の長さは $2$。

検算: 固有値 1 の固有ベクトルは $(1,-2)/\sqrt{5}$。$Q(1,-2)=5-8+8=5$ なので、単位ベクトルでは $5/5=1$ となり正しい。固有値 6 の方向 $(2,1)/\sqrt{5}$ では $Q(2,1)=20+8+2=30$ で $30/5=6$ となり正しい。曲線上で原点からの距離が最大になるのは固有値 1 の方向で、$r^2=6$、$r=\sqrt{6}$。最小になるのは固有値 6 の方向で、$r^2=1$、$r=1$。