線形代数の問題

手順 1：2 次形式を対称行列で表す。
$$Q(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& -3\end{array}\right)$$
$xy$ の係数 $8$ を半分ずつ $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分に分けて、対称行列にする。

手順 2：$A$ の固有値を求める。
$$\det (A-\lambda E)=(3-\lambda )(-3-\lambda )-16={\lambda }^2-25=0$$
より $\lambda =5,-5$ である。

手順 3：正規直交な固有ベクトルを求める（直交行列で対角化する）。
$\lambda =5$ のとき $(A-5E)\mathbf{v}=0$ は $-2x+4y=0$ となるので、${\mathbf{u}}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$。
$\lambda =-5$ のとき $(A+5E)\mathbf{v}=0$ は $8x+4y=0$ となるので、${\mathbf{u}}_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$。
$P=({\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_2)$ は直交行列で、$P^{\mathsf{T}}AP=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -5\end{array}\right)$ となる。

手順 4：標準形に直す。
$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$ とおくと
$$Q=5X^2-5Y^2$$
となる。固有値が正と負の 1 つずつなので、$Q$ は正定値でも負定値でもない（不定符号）。よって曲線 $C$ は
$$5X^2-5Y^2=10\text{すなわち}\frac{X^2}{2}-\frac{Y^2}{2}=1$$
となり、$XY$ 座標で見ると双曲線である。

手順 5：頂点の間の距離を求める。
この双曲線の頂点は $(X,Y)=(\pm \sqrt{2},0)$ である。直交変換は長さを変えないので、$xy$ 平面での 2 頂点間の距離も $XY$ 座標での距離と同じで、
$$\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$$
である。

（確認：頂点 $(X,Y)=(\sqrt{2},0)$ は $(x,y)=\left(\frac{2\sqrt{10}}{5},\frac{\sqrt{10}}{5}\right)$ である。代入すると $\frac{120+160-30}{25}=10$ となり、$C$ 上にあることがわかる。）

答え：$2\sqrt{2}$

$Q$ の係数行列は $A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& -3\end{array}\right)$。固有方程式は $(3-\lambda )(-3-\lambda )-16={\lambda }^2-9-16={\lambda }^2-25=0$ なので $\lambda =5,-5$。
直交変換により $Q=5u^2-5v^2$ となる。曲線 $C$ は $5u^2-5v^2=10$、すなわち $\frac{u^2}{2}-\frac{v^2}{2}=1$ となる。
これは $a^2=2$ の双曲線で、頂点は $(u,v)=(\pm \sqrt{2},0)$。2 つの頂点の間の距離は $2a=2\sqrt{2}$。
直交変換は距離を保つので、$xy$ 平面でも距離は同じ。
検算：固有値 5 の固有ベクトル $(2,1)/\sqrt{5}$ 方向の点 $t(2,1)/\sqrt{5}$ を代入すると $Q=5t^2$。$t^2=2$ のとき $Q=10$ で、$t=\pm \sqrt{2}$ となり一致する。頂点間の距離は $2\sqrt{2}$。