線形代数の問題

手順 1：2 次形式を対称行列で表す。
$xy$ の係数 $8$ を半分ずつ $(1,2)$ 成分と $(2,1)$ 成分に分けて
$$3x^2+8xy+3y^2=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& 3\end{array}\right)$$
と書ける。

手順 2：$A$ の固有値を求める。
$$\det (A-\lambda E)=(3-\lambda {)}^2-16=0$$
より $3-\lambda =\pm 4$ なので、$\lambda =7,-1$ である。

手順 3：直交行列で対角化する。
$\lambda =7$ のとき $(A-7E)\mathbf{v}=0$ は $-4v_1+4v_2=0$ となるので、単位固有ベクトルとして $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ がとれる。
$\lambda =-1$ のとき $(A+E)\mathbf{v}=0$ は $4v_1+4v_2=0$ となるので、$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ がとれる。

この 2 つは直交しているので、
$$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$
は直交行列である。$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$ とおくと ${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ となるから、
$$3x^2+8xy+3y^2=7X^2-Y^2$$
となる。これが標準形である。

手順 4：符号から曲線の形を判定する。
固有値は $7>0$ と $-1<0$ で、符号が異なる。よってこの 2 次形式は正定値でも負定値でもなく、不定符号である。$C$ の方程式は
$$7X^2-Y^2=14⟺\frac{X^2}{2}-\frac{Y^2}{14}=1$$
となり、$C$ は $X$ 軸を主軸とする双曲線である。

手順 5：頂点間の距離を求める。
$XY$ 座標での頂点は $Y=0$ とおいて得られる $(X,Y)=(\pm \sqrt{2},0)$ なので、頂点間の距離は $2\sqrt{2}$ である。直交変換は距離を変えないから、$xy$ 平面でも距離は $2\sqrt{2}$ である。

（確認）$xy$ 座標に戻すと、頂点は $(x,y)=P\left(\begin{array}{c}\pm \sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)=\pm (1,1)$ である。$3+8+3=14$ を満たし、2 点の距離は $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ となる。

答え：$2\sqrt{2}$

左辺の 2 次形式の行列は $A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& 3\end{array}\right)$。固有方程式 $(3-\lambda {)}^2-16=0$ より $\lambda =7,-1$。直交変換で $7u^2-v^2=14$、すなわち $\frac{u^2}{2}-\frac{v^2}{14}=1$ となる。これは双曲線で、頂点は $v=0$, $u=\pm \sqrt{2}$ の 2 点。頂点間の距離は $2\sqrt{2}$。
検算：固有値 7 の固有ベクトルの方向は $(1,1)/\sqrt{2}$ で、直線 $y=x$ 上では $3x^2+8x^2+3x^2=14x^2=14$ より $x=\pm 1$。この点は原点から距離 $\sqrt{2}$ にあり、$u=\pm \sqrt{2}$ と一致する。直線 $y=-x$ 上では $3-8+3=-2$ なので $-2x^2=14$ となり実数解はない。したがって頂点は $(1,1),(-1,-1)$ で、距離は $\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。