2 次形式の標準形と符号

2 次形式を直交変換で標準形にし、符号（正定値かどうか）を判定して、2 次曲線・曲面の形を調べられる

前提

対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）

説明

変数 $x_{1}, \dots, x_{n}$ の 2 次の項だけでできた式 $q (x) = \sum_{i, j} a_{ij} x_{i} x_{j}$ を 2 次形式といいます。この技能では、座標軸を回転させる（直交変換する）ことで $x y$ のような交差項を消し、 $λ_{1} X_{1}^{2} + \dots + λ_{n} X_{n}^{2}$ の形（標準形）に直します。標準形にすれば、 $q$ が $0$ 以外でつねに正になるか（正定値か）を、係数の符号だけで判定できます。さらに $5 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} = 6$ のように傾いた 2 次曲線や 2 次曲面について、楕円・双曲線・楕円面などのどれにあたるか、軸の長さがいくつかを読み取れます。

なぜそうしてよいのか

2 次形式は、実対称行列 $A$ を使って $q (x) =^{t} x A x$ と書けます。たとえば $a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} = (x y) (a b b c) (x y)$ です。 $x y$ の係数 $2 b$ を (1,2) 成分と (2,1) 成分に $b$ ずつ分けると、 $A$ が対称になります。前提の技能により、 $A$ は直交行列 $P$ （ $^{t} P = P^{- 1}$ ）を使って $^{t} P A P = D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ と対角化できます。ここで $λ_{i}$ は $A$ の固有値です。

そこで新しい変数 $X$ を $x = P X$ で定めます。すると $q =^{t} (P X) A (P X) =^{t} X (^{t} P A P) X =^{t} X D X = λ_{1} X_{1}^{2} + \dots + λ_{n} X_{n}^{2}$ となり、交差項が消えます。 $P$ は直交行列なので $∣ P X ∣ = ∣ X ∣$ が成り立ち、長さも角度も変わりません。つまり $X$ 座標は、元の座標軸を回転（または折り返し）させただけの直交座標です。だから図形の形や大きさを、標準形からそのまま読み取ってよいのです。

$P$ は逆行列をもつので、 $x$ が $0$ 以外を動くとき、 $X$ も $0$ 以外のすべてを動きます。したがって「すべての $x \neq = 0$ で $q (x) > 0$ 」（これを正定値という）は、「すべての $X \neq = 0$ で $\sum λ_{i} X_{i}^{2} > 0$ 」と同じ意味になります。これは全固有値が正であることと同値です。 $X_{i}$ を 1 つだけ 1、残りを 0 にすると値は $λ_{i}$ になるので、 $λ_{i} > 0$ が必要なことがわかります。逆に全 $λ_{i} > 0$ なら和は明らかに正です。同じように考えると、全固有値が負なら負定値、全固有値が $0$ 以上で $0$ を含むなら半正定値になります。正と負の固有値が両方あれば不定（正にも負にもなる）です。正の固有値の個数 $s$ と負の固有値の個数 $t$ の組 $(s, t)$ を、2 次形式の符号（符号数）といいます。

手順

2 次形式を対称行列 $A$ で表す。 $x_{i}^{2}$ の係数を対角成分 $a_{ii}$ に置き、 $x_{i} x_{j}$ ( $i \neq = j$ ) の係数の半分を $a_{ij} = a_{j i}$ に置く。
特性方程式 $det (A - λ E) = 0$ を解いて、固有値 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ を求める。
各固有値の固有ベクトルを長さ 1 にそろえる（重解のときはグラム・シュミットで正規直交化する）。それらを列に並べて直交行列 $P$ を作り、 $x = P X$ とおく。
標準形 $q = λ_{1} X_{1}^{2} + \dots + λ_{n} X_{n}^{2}$ を書く。 $X_{i}$ には、 $P$ の第 $i$ 列の固有ベクトルの固有値 $λ_{i}$ が対応する。
符号を判定する。全 $λ_{i} > 0$ なら正定値、全 $λ_{i} < 0$ なら負定値、正と負が混在すれば不定。全 $λ_{i} \geq 0$ で $0$ を含めば半正定値、全 $λ_{i} \leq 0$ で $0$ を含めば半負定値。
図形 $q = c$ （ $c > 0$ ）の形を読む。 $λ_{i} > 0$ の方向の半軸の長さは $c / λ_{i}$ 。2 変数では、固有値が 2 つとも正なら楕円、正と負が 1 つずつなら双曲線。3 変数では、3 つとも正なら楕円面、正 2 つ負 1 つなら一葉双曲面、正 1 つ負 2 つなら二葉双曲面。

例題

$x y$ 平面上の曲線 $5 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} = 6$ の長軸の長さを求めよ。

例題の解答

【手順1】 $5 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} = (x y) A (x y)$ と表す。 $x y$ の係数 $4$ を半分ずつに分けて、 $A = (5222)$ とする。
【手順2】 $det (A - λ E) = (5 - λ) (2 - λ) - 4 = λ^{2} - 7 λ + 6 = (λ - 1) (λ - 6) = 0$ を解いて、 $λ = 1, 6$ 。
【手順3】 $λ = 1$ のとき、 $4 x + 2 y = 0$ から $y = - 2 x$ となり、単位固有ベクトルは $\frac{1}{5} (1 - 2)$ 。 $λ = 6$ のとき、 $- x + 2 y = 0$ から、単位固有ベクトルは $\frac{1}{5} (21)$ 。これらを並べて $P = \frac{1}{5} (1 - 2 21)$ とする。 $P$ は直交行列で、 $det P = 1$ なので回転を表す。 $(x y) = P (X Y)$ とおく。
【手順4】標準形は $X^{2} + 6 Y^{2}$ なので、曲線の方程式は $X^{2} + 6 Y^{2} = 6$ となる。
【手順5】固有値 $1, 6$ はどちらも正なので、この 2 次形式は正定値である。
【手順6】両辺を $6$ で割ると $\frac{X ^{2}}{6} + \frac{Y ^{2}}{1} = 1$ となり、曲線は楕円である。半軸の長さは、 $X$ 方向が $6/1 = 6$ 、 $Y$ 方向が $6/6 = 1$ 。長軸は $X$ 軸方向、すなわち元の座標でベクトル $(1, - 2)$ の方向にある。その長さは $26$ である。

答え: $26$

よくある誤り

$x y$ の係数をそのまま非対角成分に入れてしまう誤り。 $5 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2}$ の行列を $(5442)$ とするのは誤りである。正しくは係数を半分ずつに分けて、 $(5222)$ とする。
対角成分（ $x^{2}, y^{2}$ の係数）がすべて正なら正定値だと判定してしまう誤り。 $x^{2} + 4 x y + y^{2}$ は対角成分が正だが、行列 $(1221)$ の固有値は $3, - 1$ なので不定である。実際、 $x = 1, y = - 1$ で値は $- 2$ になる。正しくは固有値の符号で判定する。
固有ベクトルを長さ 1 にせずに $P$ を作ってしまう誤り。 $P = (1 - 2 21)$ で置き換えると、 $5 x^{2} + 4 x y + 2 y^{2} = 5 X^{2} + 30 Y^{2}$ となり、係数が固有値の 5 倍にずれる。しかもこの変換は長さを保たないので、軸の長さが狂う。正しくは $\frac{1}{5}$ をかけて直交行列にし、 $X^{2} + 6 Y^{2}$ を得る。
標準形の係数を半軸の長さと取り違える誤り。 $X^{2} + 6 Y^{2} = 6$ で $Y$ 方向の半軸を $6$ としてしまうのは誤りである。正しくは $\frac{X ^{2}}{6} + Y^{2} = 1$ と直し、半軸を $c / λ_{i}$ で計算する。すると $X$ 方向が $6$ 、 $Y$ 方向が $1$ となる。固有値が小さい方向ほど軸は長い。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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キリング形式の符号（大学院数学リー群・リー環）
交叉形式と符号数（大学院数学微分トポロジー・特性類）
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半正定値制約と小さな半正定値計画（大学院数学凸最適化・組合せ最適化）
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