行列リッカチ方程式と最適コスト

代数リッカチ方程式 $A^{T} P + P A - P B R^{- 1} B^{T} P + Q = 0$ の正定値解 $P$ を成分の連立方程式から求め、最小値 $J^{*} = x (0)^{T} P x (0)$ を求められる

前提

スカラー系の最適レギュレータ（大学院数学制御理論）
可制御性と可観測性（大学院数学制御理論）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）

説明

多変数の線形系 $x ˙ = A x + B u$ に対し、2 次形式の評価関数 $J = \int_{0}^{\infty} (x^{T} Q x + u^{T} R u) d t$ （ $Q$ は対称で半正定値、 $R$ は対称で正定値）を最小にする入力を求める問題を最適レギュレータ問題といいます。この技能では、スカラーのリッカチ方程式を行列に広げた代数リッカチ方程式 $A^{T} P + P A - P B R^{- 1} B^{T} P + Q = 0$ を、対称行列 $P$ の成分についての連立方程式として解き、その中から正定値な解を選びます。得られた $P$ から、最小値 $J^{*} = x (0)^{T} P x (0)$ と最適フィードバック $u = - R^{- 1} B^{T} P x$ がわかります。

なぜそうしてよいのか

平方完成による導出. スカラーの場合と同じく、対称行列 $P$ を 1 つとって $V (t) = x^{T} P x$ を考えます。 $x ˙ = A x + B u$ を代入すると
$\frac{d V}{d t} = x^{T} (A^{T} P + P A) x + 2 u^{T} B^{T} P x .$
これを被積分関数に足して $u$ について平方完成すると
$x^{T} Q x + u^{T} R u + \frac{d V}{d t} = x^{T} (A^{T} P + P A - P B R^{- 1} B^{T} P + Q) x + (u + R^{- 1} B^{T} P x)^{T} R (u + R^{- 1} B^{T} P x)$
となります（右辺を展開すれば確かめられます）。 $P$ がリッカチ方程式を満たせば第 1 項が消えるので、 $x (t) \to 0$ となる入力について $0$ から $\infty$ まで積分すると
$J = x (0)^{T} P x (0) + \int_{0}^{\infty} (u + R^{- 1} B^{T} P x)^{T} R (u + R^{- 1} B^{T} P x) d t .$
$R$ は正定値なので第 2 項は $0$ 以上で、 $u = - R^{- 1} B^{T} P x$ のときだけ $0$ になります。よって $J^{*} = x (0)^{T} P x (0)$ です。

なぜ正定値な解を選ぶか. リッカチ方程式は $P$ の成分について 2 次の連立方程式なので、解が複数あります。上の議論では最適入力のもとで $x (t) \to 0$ となる必要があり、またコスト $J^{*}$ は $x (0) \neq = 0$ なら正のはずです。 $(A, B)$ が可制御で、 $Q$ が正定値（より一般には $Q = C^{T} C$ として $(C, A)$ が可観測）のとき、正定値な対称解はただ 1 つで、それが閉ループ $A - B R^{- 1} B^{T} P$ を安定にする解であることが知られています。そこで、連立方程式の解のうち正定値なものを、2 次形式の符号の判定（2 次なら対角成分が正かつ行列式が正）で選び出します。

手順

$(A, B)$ が可制御であること、 $Q$ が正定値（または可観測性の条件）であることを確かめる。
$P$ を対称行列とおく（2 次なら $P = (p_{1} p_{2} p_{2} p_{3})$ で未知数 3 個）。
$A^{T} P + P A$ と $P B R^{- 1} B^{T} P$ を計算し、 $A^{T} P + P A - P B R^{- 1} B^{T} P + Q = O$ の成分を書き出す（対称なので上三角部分だけでよい）。
得られた連立方程式を解く。決めやすい式から順に解き、候補をすべて出す。
候補のうち正定値なもの（2 次なら $p_{1} > 0$ かつ $p_{1} p_{3} - p_{2}^{2} > 0$ ）を選ぶ。
$J^{*} = x (0)^{T} P x (0)$ を計算する。必要なら最適フィードバック $u = - R^{- 1} B^{T} P x$ も書く。

例題

$A = (0010)$ , $B = (01)$ の系 $x ˙ = A x + B u$ と評価関数 $J = \int_{0}^{\infty} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + u^{2}) d t$ （ $Q = I$ , $R = 1$ ）を考える。初期状態 $x (0) = (11)$ のとき、 $J$ の最小値 $J^{*}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1. $(B A B) = (0110)$ の行列式は $- 1 \neq = 0$ なので可制御。 $Q = I$ は正定値。

手順 2. $P = (p_{1} p_{2} p_{2} p_{3})$ とおく。

手順 3. $A^{T} P = (0 p_{1} 0 p_{2})$ , $P A = (00 p_{1} p_{2})$ より $A^{T} P + P A = (0 p_{1} p_{1} 2 p_{2})$ 。 $P B = (p_{2} p_{3})$ より $P B R^{- 1} B^{T} P = (p_{2}^{2} p_{2} p_{3} p_{2} p_{3} p_{3}^{2})$ 。リッカチ方程式の成分は
$(1, 1) : - p_{2}^{2} + 1 = 0, (1, 2) : p_{1} - p_{2} p_{3} = 0, (2, 2) : 2 p_{2} - p_{3}^{2} + 1 = 0.$

手順 4. $(1, 1)$ より $p_{2} = \pm 1$ 。 $p_{2} = - 1$ なら $(2, 2)$ で $p_{3}^{2} = - 1$ となり実数解がない。よって $p_{2} = 1$ , $p_{3}^{2} = 3$ で $p_{3} = \pm 3$ 、 $(1, 2)$ より $p_{1} = p_{3}$ 。候補は $P = (3113)$ と $(- 3 1 1 - 3)$ 。

手順 5. 前者は $p_{1} = 3 > 0$ , $p_{1} p_{3} - p_{2}^{2} = 3 - 1 = 2 > 0$ で正定値。後者は $p_{1} < 0$ で正定値でない。よって $P = (3113)$ 。

手順 6.
$J^{*} = (11) (3113) (11) = 3 + 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 23 .$
（このときの最適フィードバックは $u = - B^{T} P x = - x_{1} - 3 x_{2}$ で、閉ループ行列 $(0 - 1 1 - 3)$ の固有値は $\frac{- 3 \pm i}{2}$ と実部が負なので、確かに $x (t) \to 0$ となる。）

答え: $2 + 23$

よくある誤り

$P$ を対称と限らずに未知数 4 個でおいたり、逆に $(1, 2)$ 成分と $(2, 1)$ 成分の式を別々の条件と数えたりしてしまう誤り。正しくは $P = P^{T}$ とおき、方程式の左辺も対称になるので、2 次なら $(1, 1), (1, 2), (2, 2)$ の 3 本を解く。
連立方程式の解を 1 つ見つけた時点でそれを答えにしてしまう誤り。正しくは候補をすべて出して正定値なものを選ぶ。例題で $p_{3} = - 3$ を選ぶと $P = (- 3 1 1 - 3)$ となり、 $J^{*} = 2 - 23 < 0$ という負のコストになってしまう。
2 次の項の符号や順序を取り違え、 $+ P B R^{- 1} B^{T} P$ や $B R^{- 1} B^{T} P P$ としてしまう誤り。正しくは $A^{T} P + P A - P B R^{- 1} B^{T} P + Q = O$ で、 $P$ が両側から挟む形。スカラーなら $2 a p - \frac{b ^{2}}{r} p^{2} + q = 0$ に戻ることで確かめられる。
評価関数に $\frac{1}{2}$ が付いた流儀 $J = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} (x^{T} Q x + u^{T} R u) d t$ でも $J^{*} = x (0)^{T} P x (0)$ としてしまう誤り。正しくは、同じリッカチ方程式の解 $P$ に対して $J^{*} = \frac{1}{2} x (0)^{T} P x (0)$ になる。問題文の $J$ の定義を必ず確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
状態 $x (t) = (x_{1} (t) x_{2} (t)) \in R^{2}$ 、入力 $u (t) = (u_{1} (t) u_{2} (t)) \in R^{2}$ をもつ線形時不変系
$x ˙ (t) = u (t) (すなわち A = O, B = I)$
と、評価関数
$J = \int_{0}^{\infty} (x (t)^{T} Q x (t) + u (t)^{T} u (t)) d t, Q = (5445)$
を考える（ $R = I$ ）。ここで $O$ は 2 次の零行列、 $I$ は 2 次の単位行列である。初期状態を $x (0) = (21)$ とし、入力 $u$ を $J$ が有限となる関数全体から選ぶとき、 $J$ の最小値 $J^{*}$ を求めよ。ただし、代数リッカチ方程式 $A^{T} P + P A - P B R^{- 1} B^{T} P + Q = 0$ の対称な正定値解 $P$ を用いて $J^{*} = x (0)^{T} P x (0)$ となることは用いてよい。

行列リッカチ方程式と最適コスト

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題