制御理論の問題

行列で書くと $\dot{x}=Ax+bu,y=cx$、
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),c=\left(\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right)$$
であり、$J={\int }_0^{\infty }(x^{\top }Qx+u^2)dt$、$Q=c^{\top }c=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$、$R=1$ である。

$(A,b)$ は可制御（$\mathrm{rank}(bAb)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=2$）、$(c,A)$ は可観測（$\mathrm{rank}\left(\begin{array}{c}c\\ cA\end{array}\right)=\mathrm{rank}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=2$）である。よってリッカチ方程式
$$A^{\top }P+PA-Pb{b}^{\top }P+Q=0$$
はただ 1 つの正定値対称解 $P$ をもち、最適入力は $u=-b^{\top }Px$、最小値は $J^{\ast }=x(0{)}^{\top }Px(0)$ である。

$P=\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ p_2& p_3\end{array}\right)$ とおくと
$$A^{\top }P+PA=\left(\begin{array}{cc}0& p_1\\ p_1& 2p_2\end{array}\right),Pb{b}^{\top }P=\left(\begin{array}{cc}{p}_2^2& p_2{p}_3\\ p_2{p}_3& p_3^2\end{array}\right)$$
なので、成分ごとに
$$(1,1):4-p_2^2=0,(1,2):p_1-p_2{p}_3+2=0,(2,2):2p_2-p_3^2+1=0.$$
$(1,1)$ より $p_2=\pm 2$。$p_2=-2$ だと $(2,2)$ から $p_3^2=-3$ となり不適なので $p_2=2$。$(2,2)$ より $p_3^2=5$、正定値性から $p_3>0$ なので $p_3=\sqrt{5}$。$(1,2)$ より $p_1=2\sqrt{5}-2$。

確認: $p_1=2\sqrt{5}-2>0$、$\det P=(2\sqrt{5}-2)\sqrt{5}-4=6-2\sqrt{5}>0$ なので $P$ は正定値。また閉ループ $A-b{b}^{\top }P$ の特性多項式は $s^2+\sqrt{5}s+2$ で、係数がすべて正なので安定である。

したがって
$$J^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2\sqrt{5}-2& 2\\ 2& \sqrt{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=p_1-2p_2+p_3=(2\sqrt{5}-2)-4+\sqrt{5}=3\sqrt{5}-6.$$

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$, $C=(21)$ とおくと $y^2=x^{\top }Qx$, $Q=C^{\top }C=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$、$R=1$ の LQ 問題。$(A,B)$ は可制御、$(A,C)$ は可観測（$CA=(02)$ より観測可能性行列は正則）なので、最小値は $x(0{)}^{\top }Px(0)$、$P$ は代数 Riccati 方程式 $A^{\top }P+PA-PB{B}^{\top }P+Q=0$ の正定解。

$P=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& r\end{array}\right)$ とおくと
$A^{\top }P+PA=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ p& 2q\end{array}\right)$, $PB{B}^{\top }P=\left(\begin{array}{cc}{q}^2& qr\\ qr& r^2\end{array}\right)$ より
- (1,1): $-q^2+4=0$ より $q=\pm 2$
- (1,2): $p-qr+2=0$
- (2,2): $2q-r^2+1=0$

$P$ 正定には $r>0$ かつ $q^2<pr$ が必要。$q=-2$ のとき $r^2=-3$ で不適。よって $q=2$, $r^2=5$, $r=\sqrt{5}$, $p=qr-2=2\sqrt{5}-2$。
正定性: $p=2\sqrt{5}-2>0$, $\det P=pr-q^2=(2\sqrt{5}-2)\sqrt{5}-4=6-2\sqrt{5}>0$。

最小値 $J^{\ast }=x(0{)}^{\top }Px(0)$, $x(0)=(1,-1{)}^{\top }$:
$J^{\ast }=p-2q+r=(2\sqrt{5}-2)-4+\sqrt{5}=3\sqrt{5}-6$。

検算: 閉ループ行列 $A-B{B}^{\top }P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -\sqrt{5}\end{array}\right)$ の特性多項式は $s^2+\sqrt{5}s+2$ で安定（係数すべて正）。最適入力は $u=-2x_1-\sqrt{5}{x}_2$。Riccati の 3 式に代入して成り立つことも確認した（(1,2): $2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}+2=0$, (2,2): $4-5+1=0$）。数値では $3\sqrt{5}-6\approx 0.708$。