制御理論の問題

リッカチ微分方程式の導出. $p(t)$ を $[0,T]$ 上の $C^1$ 級関数とし、$x$ を状態の解とすると
$$\frac{d}{dt}\left(p{x}^2\right)=\dot{p}{x}^2+2px\dot{x}=\dot{p}{x}^2+2px(x+u).$$
したがって
$$3x^2+u^2+\frac{d}{dt}(p{x}^2)=(\dot{p}+2p+3)x^2+2pxu+u^2=(\dot{p}+2p+3-p^2)x^2+(u+px{)}^2.$$
そこで $p$ を、終端条件付きのリッカチ微分方程式
$$\dot{p}=p^2-2p-3=(p-3)(p+1),p(T)=1$$
の解に選ぶ。

リッカチ方程式を解く. $\tau =T-t$ とおくと $\frac{dp}{d\tau }=(3-p)(p+1)$、$\tau =0$ で $p=1$。$p=1$ は $-1<p<3$ にあり、この範囲では右辺が正なので $p$ は $-1<p<3$ にとどまり、爆発しない。部分分数分解
$$\frac{1}{(3-p)(p+1)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3-p}+\frac{1}{p+1}\right)$$
より
$$\frac{1}{4}\log \frac{p+1}{3-p}=\tau +C.$$
$\tau =0,p=1$ を代入すると $\frac{1}{4}\log \frac{2}{2}=0$ なので $C=0$。よって $\frac{p+1}{3-p}=e^{4\tau }$、すなわち
$$p=\frac{3e^{4\tau }-1}{e^{4\tau }+1}.$$
（検算: $E=e^{4\tau }$ とすると $\frac{dp}{d\tau }=\frac{16E}{(E+1{)}^2}$、$(3-p)(p+1)=\frac{4}{E+1}\cdot \frac{4E}{E+1}$ で一致する。）

$t=0$ は $\tau =T=\frac{\log 2}{2}$ に対応し、$e^{4T}=e^{2\log 2}=4$。よって
$$p(0)=\frac{3\cdot 4-1}{4+1}=\frac{11}{5}.$$

最小値の決定. 上の恒等式で $\dot{p}+2p+3-p^2=0$ だから、$0$ から $T$ まで積分して
$${\int }_0^T(3x^2+u^2)dt+p(T)x(T{)}^2-p(0)x(0{)}^2={\int }_0^T(u+px{)}^{2}dt.$$
$p(T)=1$、$x(0)=1$ より
$$J(u)=p(0)+{\int }_0^T(u(t)+p(t)x(t){)}^{2}dt\ge p(0)=\frac{11}{5}.$$
等号はフィードバック $u(t)=-p(t)x(t)$ のとき成り立つ（閉ループ系 $\dot{x}=(1-p(t))x$ は線形で $[0,T]$ 上に解をもち、そのとき $u$ は連続）。したがって最小値は $\frac{11}{5}$ である。

これは有限時間の LQR 問題で、$A=1,B=1,Q=3,R=1,Q_f=1$ である。最小値は $P(0)x(0{)}^2$ で与えられる。ここで $P$ はリカッチ微分方程式
$$-\dot{P}=2P+3-P^2,P(T)=1$$
の解である。

$s=T-t$ とおくと、$\frac{dP}{ds}=2P+3-P^2=(3-P)(P+1)$、$P(s=0)=1$ となる。

$-1<P<3$ の範囲で変数分離すると
$$\frac{1}{(3-P)(P+1)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{3-P}+\frac{1}{P+1})$$
より
$$\frac{1}{4}\log \frac{P+1}{3-P}=s+c.$$
$s=0,P=1$ のとき $\frac{P+1}{3-P}=1$ なので $c=0$。よって
$$\frac{P+1}{3-P}=e^{4s}.$$

$t=0$ は $s=T=\frac{\log 2}{2}$ に対応し、$e^{4T}=e^{2\log 2}=4$ である。したがって $P+1=4(3-P)$、すなわち $P(0)=\frac{11}{5}$。

$x(0)=1$ なので最小値は $\frac{11}{5}$。

検算: $P=11/5$ のとき $(P+1)/(3-P)=(16/5)/(4/5)=4$ となり、上の式と一致する。また $P(s)$ は $1$ から単調に増え、$3$ を超えない。