1 階線形微分方程式

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=3x$$ と初期条件 $y(1)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を $x$ の式で表せ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+y=2e^x$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。$y(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }-3y=2e^x$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を $x$ の式で表せ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2xy=x{e}^{-x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2xy=2x{e}^{-x^2}$$ と初期条件 $y(0)=3$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$y^{\prime }+y=e^x{y}^2$$
と初期条件 $y(0)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。このとき $y(1)$ の値を求めよ。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$y^{\prime }+y=e^x{y}^2$$
と初期条件 $y(0)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2y=4x$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

領域 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x>0\}$ 上の未知関数 $u=u(x,y)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$x{u}_x+2y{u}_y=u+x^2((x,y)\in D),u(1,y)=y(y\in \mathbb{R})$$
を考える。この問題の $D$ 上の $C^1$ 級の解 $u$ について、$u(2,12)$ の値を求めよ。

$I$ を $\mathbb{R}$ の開区間とし、$y:I\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、すべての $t\in I$ に対して $y(t)>0$ かつ
$$y^{\prime }(t)=y(t)-y(t{)}^3$$
を満たすとする。このとき、ある実数の定数 $C$ が存在して、すべての $t\in I$ に対して $e^{2t}+C>0$ かつ
$$y(t)=\frac{e^t}{\sqrt{e^{2t}+C}}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の定理は用いずに示すこと。

$M$ を正の実数とし、$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を連続関数で、すべての実数 $t$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすものとする。$y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、初期値問題
$$y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R}),y(0)=y_0$$
を満たすとする（$y_0$ は実数の定数）。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して
$$|y(t)|\le |y_0|e^{-2t}+\frac{M}{2}$$
が成り立つことを証明せよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$(1+x^2)y^{\prime }+2xy=\frac{1}{1+x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。

容量 $200\text{L}$ のタンクがあり、時刻 $t=0$（単位は分）において、食塩 $10\text{kg}$ を含む食塩水 $100\text{L}$ が入っている。時刻 $t=0$ から、濃度 $0.2\text{kg/L}$ の食塩水を毎分 $3\text{L}$ の割合でタンクに注ぎ入れ、同時にタンク内の食塩水を毎分 $2\text{L}$ の割合で排出する。タンク内の食塩水はつねに瞬時に一様に混ざり、濃度は場所によらず一定であるとする。また、食塩水の体積は流入量と流出量だけで決まるものとし、食塩の溶解などによる体積変化は無視する。

時刻 $t$ におけるタンク内の食塩の量を $x(t)\text{kg}$ とし、$x(t)$ は微分可能であるとする。タンクがちょうど満杯になる時刻におけるタンク内の食塩の量は何 kg か。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\tanh x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上でこの初期値問題の $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T>0$ の上限を $T^{\ast }$ とする。特性曲線の方法を用いて $T^{\ast }$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーション（を通常の条件を満たすように拡大したもの）とする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ を、確率微分方程式
$$d{X}_t=-X_{t}dt+d{W}_t,X_0=1$$
のただ一つの強い解（オルンシュタイン–ウーレンベック過程）とする。伊藤の公式を用いて、期待値 $E\left[X_1^3\right]$ を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。確率過程 $(X_t{)}_{t\ge 0}$ は確率微分方程式
$$d{X}_t=(2-X_t)dt+2\sqrt{X_t}d{W}_t,X_0=1$$
のただ一つの強解であり、すべての $t\ge 0$ で $X_t\ge 0$ を満たすとする。また、各 $T>0$ に対して ${\sup }_{0\le t\le T}E[X_t^k]<\infty$（$k=1,2,3$）が成り立ち、以下で現れる伊藤積分 ${\int }_0^t(\cdots )d{W}_s$ はすべて期待値 $0$ のマルチンゲールになることを用いてよい。

$T=\log 2$ とするとき、期待値 $E\left[X_T^2\right]$ を求めよ。

区間 $0\leqq x<\frac{\pi }{2}$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }-y\tan x=2\sin x$$
と初期条件 $y(0)=1$ をみたすとする。$y\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

$x\ge 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式 $$x{y}^{\prime }+y=y^2\log x$$ と初期条件 $y(1)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$f$ を $[0,\pi ]$ 上の実数値連続関数とする。実数値関数 $u(x,t)$ は $[0,\pi ]\times [0,\infty )$ で連続であり、$[0,\pi ]\times (0,\infty )$ で $u_t,u_x,u_{xx}$ が存在して連続（$x=0,\pi$ では片側微分とする）で、
$$u_t=u_{xx}(0\le x\le \pi ,t>0),u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=f(x)(0\le x\le \pi )$$
をみたすとする。$\beta =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(y)\sin ydy$ とおくとき、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\underset{0\le x\le \pi }{\sup }|e^{t}u(x,t)-\beta \sin x|=0$$
が成り立つことを示せ。

ただし、次の事実は用いてよい：$[0,\pi ]$ 上の連続関数 $g$ が、すべての正の整数 $n$ について ${\int }_0^{\pi }g(x)\sin nxdx=0$ をみたすならば、$g$ は $[0,\pi ]$ 上で恒等的に $0$ である。

$u=u(x,t)$ に対する保存形の非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+{\left(\frac{u^2}{2}\right)}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=u_0(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ 1& (0<x<1)\\ -1& (x>1)\end{array}$$
を考える。この問題のエントロピー解（ランキン・ユゴニオ条件とラックスのエントロピー条件を満たす区分的に滑らかな弱解）は、$t>0$ においてちょうど 1 本の衝撃波をもつ。時刻 $t$ における衝撃波の位置を $x=s(t)$ とするとき、$s(9)$ の値を求めよ。

区間 $x\ge 0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、
$$(1+x^2)y{y}^{\prime }+x{y}^2=\sqrt{1+x^2},y(0)=1$$
を満たすとする。$y\left(\frac{3}{4}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(t)$ が、変数係数の微分方程式 $$t{y}^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ty=0(t\ge 0)$$ と条件 $y(0)=1$ を満たすとする。ただし $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれもラプラス変換が存在する（指数位数の）関数とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$x{y}^{\prime }+2y=\sin x(x>0)$$ を満たし、さらに $x\to +0$ のとき $y(x)$ がある有限の値に収束するとする。$y(\pi )$ の値を求めよ。

$x\ge 0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式 $$y^{\prime }+\frac{2x}{1+x^2}y=y^3$$ と初期条件 $y(0)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。

関数 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ をもつとは、すべての実数 $t$ に対して $h(t+2\pi )=h(t)$ が成り立つことをいう。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を周期 $2\pi$ をもつ連続関数とする。微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R})$$
の解であって、$\mathbb{R}$ 上で 2 回微分可能かつ周期 $2\pi$ をもつ関数 $y$ が、ちょうど 1 つ存在することを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の一般定理は用いずに示すこと。広義積分の基本的な性質（絶対収束すれば収束する、など）と微分積分学の基本定理は用いてよい。