逐次反応と中間体の最大濃度

$A k_{1} B k_{2} C$ の中間体濃度 $[B] = \frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} (e^{- k_{1} t} - e^{- k_{2} t})$ を求め、 $[B]$ が最大になる時刻 $t_{m a x} = \frac{lo g ( k _{2} / k _{1} )}{k _{2} - k _{1}}$ とそのときの各物質の濃度を求められる

前提

0 次・1 次・2 次反応の積分形速度式（大学化学反応速度論）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

この技能までの道筋（55 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
原子量・分子量・式量（高校化学物質量と化学反応式）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）
モル濃度（高校化学物質量と化学反応式）
気体の体積と物質量（高校化学物質量と化学反応式）
化学反応式の係数（中学理科化学変化と原子・分子）
化学反応式と量的関係（高校化学物質量と化学反応式）
反応速度の定義と係数の比（高校化学反応速度）
速度式と速度定数（高校化学反応速度）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
0 次・1 次・2 次反応の積分形速度式（大学化学反応速度論）
部分積分（数学III 積分法）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

説明

反応物 A が中間体 B を経て生成物 C になる $A k_{1} B k_{2} C$ のような反応を逐次反応（連続反応）といいます。両段階が 1 次反応のとき、中間体 B の濃度は時間とともにいったん増えてから減るので、ある時刻で最大になります。この技能では、B の濃度の式を導いて使い、B が最大になる時刻 $t_{m a x}$ とそのときの A・B・C の濃度を求めます。中間体を目的物として取り出したいときに、いつ反応を止めればよいかを決める場面などで使います。

なぜそうしてよいのか

はじめ B と C は存在しない（ $[B]_{0} = [C]_{0} = 0$ ）とし、 $k_{1} > 0$ 、 $k_{2} > 0$ 、 $k_{1} \neq = k_{2}$ とします。A は 1 次で減るだけなので、前提の積分形から $[A] = [A]_{0} e^{- k_{1} t}$ です。B は A からできて C へ変わるので
$\frac{d [ B ]}{d t} = k_{1} [A] - k_{2} [B] ⟹ \frac{d [ B ]}{d t} + k_{2} [B] = k_{1} [A]_{0} e^{- k_{1} t}$
という 1 階線形微分方程式になります。積分因子 $e^{k_{2} t}$ を掛けると $\frac{d}{d t} ([B] e^{k_{2} t}) = k_{1} [A]_{0} e^{(k_{2} - k_{1}) t}$ となり、 $0$ から $t$ まで積分して $[B]_{0} = 0$ を使うと
$[B] = \frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} (e^{- k_{1} t} - e^{- k_{2} t})$
が得られます。C は物質収支 $[A] + [B] + [C] = [A]_{0}$ から $[C] = [A]_{0} - [A] - [B]$ です。

B が最大になるのは $\frac{d [ B ]}{d t} = 0$ のときです。上の式を微分すると $\frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} (- k_{1} e^{- k_{1} t} + k_{2} e^{- k_{2} t}) = 0$ 、つまり $e^{(k_{2} - k_{1}) t} = \frac{k _{2}}{k _{1}}$ なので
$t_{m a x} = \frac{lo g ( k _{2} / k _{1} )}{k _{2} - k _{1}}$
です（ $k_{2} < k_{1}$ でも分子・分母がともに負になり $t_{m a x} > 0$ ）。 $t < t_{m a x}$ では B のでき方が消え方より速く、 $t > t_{m a x}$ では逆になるので、ここが確かに最大です。また最大のときは「でき方＝消え方」、つまり $k_{1} [A] = k_{2} [B]$ が成り立つので、 $[B]_{m a x} = \frac{k _{1}}{k _{2}} [A] (t_{m a x})$ とすると計算が楽になります。

手順

条件（両段階が 1 次、 $[B]_{0} = [C]_{0} = 0$ 、 $k_{1} \neq = k_{2}$ ）を確かめ、 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $[A]_{0}$ を読み取る
B が最大になる時刻を求める： $t_{m a x} = \frac{lo g ( k _{2} / k _{1} )}{k _{2} - k _{1}}$
その時刻の A の濃度を求める： $[A] = [A]_{0} e^{- k_{1} t_{m a x}}$
B の濃度を求める： $[B] = \frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} (e^{- k_{1} t} - e^{- k_{2} t})$ に代入する（最大のときは $[B] = \frac{k _{1}}{k _{2}} [A]$ でもよい）
C の濃度を物質収支から求める： $[C] = [A]_{0} - [A] - [B]$

例題

1 次反応が続いて起こる逐次反応 $A k_{1} B k_{2} C$ において、 $k_{1} = 0.100 min^{- 1}$ 、 $k_{2} = 0.200 min^{- 1}$ とする。A の初濃度は $0.400 mol L^{- 1}$ で、はじめ B と C は存在しない。中間体 B の濃度が最大になる時刻 $t_{m a x}$ [min] と、そのときの B の濃度 [ $mol L^{- 1}$ ] を、この順に正確な値で求めよ。ただし与えられた数値は正確な値とみなす。

例題の解答

【手順 1：条件の確認】両段階とも 1 次、 $[B]_{0} = [C]_{0} = 0$ 、 $k_{1} = 0.100 \neq = k_{2} = 0.200$ なので公式が使える。 $[A]_{0} = 0.400$ 。

【手順 2： $t_{m a x}$ 】
$t_{m a x} = \frac{lo g ( 0.200/0.100 )}{0.200 - 0.100} = \frac{lo g 2}{0.100} = 10 lo g 2 min$
（約 $6.93 min$ ）

【手順 3：そのときの A】 $k_{1} t_{m a x} = lo g 2$ なので $e^{- k_{1} t_{m a x}} = \frac{1}{2}$ 、 $[A] = 0.400 \times \frac{1}{2} = 0.200 mol L^{- 1}$ 。

【手順 4：B の濃度】 $k_{2} t_{m a x} = 2 lo g 2$ なので $e^{- k_{2} t_{m a x}} = \frac{1}{4}$ 。
$[B] = \frac{0.100 \times 0.400}{0.200 - 0.100} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 0.400 \times \frac{1}{4} = 0.100 mol L^{- 1}$
検算： $\frac{k _{1}}{k _{2}} [A] = \frac{1}{2} \times 0.200 = 0.100$ で一致する。

【手順 5：C の濃度（参考）】 $[C] = 0.400 - 0.200 - 0.100 = 0.100 mol L^{- 1}$ 。

よって $t_{m a x} = 10 lo g 2$ 、 $[B]_{m a x} = \frac{1}{10}$ 。

答え: $(10 lo g 2, \frac{1}{10})$

よくある誤り

$[B]$ が最大のときは A もなくなっていると考え、 $[B]_{m a x} = [A]_{0}$ としてしまう誤り。最大になる瞬間にも A は残り、C もできている。正しくは $\frac{d [ B ]}{d t} = 0$ すなわち $k_{1} [A] = k_{2} [B]$ が成り立つ時刻で、例題では $[B]_{m a x} = 0.100$ と $[A]_{0}$ の $\frac{1}{4}$ にすぎない
$t_{m a x}$ の分子を $lo g (k_{2} - k_{1})$ や $lo g \frac{k _{1}}{k _{2}}$ としてしまう誤り。正しくは $e^{(k_{2} - k_{1}) t} = \frac{k _{2}}{k _{1}}$ から $t_{m a x} = \frac{lo g ( k _{2} / k _{1} )}{k _{2} - k _{1}}$ 。 $lo g \frac{k _{1}}{k _{2}}$ を使うなら分母も $k_{1} - k_{2}$ にする
B の式の係数を $\frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}}$ ではなく $\frac{k _{2} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}}$ や $\frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{1} - k _{2}}$ としてしまう誤り。 $t = 0$ で $\frac{d [ B ]}{d t} = k_{1} [A]_{0} > 0$ になるかで確かめられ、正しい係数は $\frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}}$
$k_{1} = k_{2}$ のときにも公式に代入してしまう誤り。分母が $0$ になり使えない。このときは微分方程式を解き直して $[B] = k [A]_{0} t e^{- k t}$ 、 $t_{m a x} = \frac{1}{k}$ となる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
一定温度で、逐次一次反応
$A k_{1} B k_{2} C$
が進む。速度定数は $k_{1} = 0.10 s^{- 1}$ 、 $k_{2} = 0.20 s^{- 1}$ であり、はじめ $[A]_{0} = 0.80 mol L^{- 1}$ 、 $B$ と $C$ は存在しない。中間体 $B$ の濃度の最大値は何 $mol L^{- 1}$ か。小数で正確に求めよ。

逐次反応と中間体の最大濃度

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題