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反応速度論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学化学反応速度論

一定温度で、逐次一次反応
$A k_{1} B k_{2} C$
が進む。速度定数は $k_{1} = 0.10 s^{- 1}$ 、 $k_{2} = 0.20 s^{- 1}$ であり、はじめ $[A]_{0} = 0.80 mol L^{- 1}$ 、 $B$ と $C$ は存在しない。中間体 $B$ の濃度の最大値は何 $mol L^{- 1}$ か。小数で正確に求めよ。

この問題で使うもの

逐次反応と中間体の最大濃度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず、 $[B]$ を時間の関数として表し、その増減から $[B]$ が最大になる時刻 $t_{m a x}$ を求める。

ヒント 2

$t_{m a x} = \frac{lo g ( k _{2} / k _{1} )}{k _{2} - k _{1}}$ を、 $[B] = \frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} (e^{- k_{1} t} - e^{- k_{2} t})$ に代入する。

ヒント 3

$t_{m a x} = 10 lo g 2 s$ なので、 $e^{- k_{1} t_{m a x}} = \frac{1}{2}$ 、 $e^{- k_{2} t_{m a x}} = \frac{1}{4}$ となる。

答えと解説

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0.20

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解説を読む

考え方: 中間体の濃度の式 $[B] (t)$ を時間で微分し、増減を調べて最大になる時刻 $t_{m a x}$ を求め、そこでの $[B]$ を計算する。

1. 中間体の濃度の式

$\frac{d [ A ]}{d t} = - k_{1} [A]$ 、 $\frac{d [ B ]}{d t} = k_{1} [A] - k_{2} [B]$ を、はじめ $[B] = 0$ として解くと、 $k_{1} \neq = k_{2}$ のとき
$[B] = \frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} (e^{- k_{1} t} - e^{- k_{2} t})$

2. 増減を調べて最大になる時刻を求める
$\frac{d [ B ]}{d t} = \frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} (- k_{1} e^{- k_{1} t} + k_{2} e^{- k_{2} t}) = \frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} e^{- k_{1} t} (k_{2} e^{- (k_{2} - k_{1}) t} - k_{1})$
$k_{2} > k_{1}$ なので前の係数と $e^{- k_{1} t}$ は正であり、かっこの中の $k_{2} e^{- (k_{2} - k_{1}) t} - k_{1}$ は $t$ とともに単調に減少する（ $t = 0$ で $k_{2} - k_{1} > 0$ 、 $t \to \infty$ で $- k_{1} < 0$ ）。かっこの中が $0$ になるのは $e^{(k_{2} - k_{1}) t} = \frac{k _{2}}{k _{1}}$ のときで
$t_{m a x} = \frac{lo g ( k _{2} / k _{1} )}{k _{2} - k _{1}} = \frac{lo g 2}{0.10} = 10 lo g 2 s$
したがって $t < t_{m a x}$ では $\frac{d [ B ]}{d t} > 0$ 、 $t > t_{m a x}$ では $\frac{d [ B ]}{d t} < 0$ となり、 $[B]$ は $t = t_{m a x}$ で最大になる。

3. そのときの指数関数の値
$e^{- k_{1} t_{m a x}} = e^{- 0.10 \times 10 l o g 2} = e^{- l o g 2} = \frac{1}{2}, e^{- k_{2} t_{m a x}} = e^{- 0.20 \times 10 l o g 2} = e^{- 2 l o g 2} = \frac{1}{4}$

4. 最大濃度
$[B]_{m a x} = \frac{0.10 \times 0.80}{0.20 - 0.10} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 0.80 \times \frac{1}{4} = 0.20 mol L^{- 1}$

別解

$[A] = [A]_{0} e^{- k_{1} t}$ 、 $\frac{d [ B ]}{d t} = k_{1} [A] - k_{2} [B]$ を解くと $[B] = \frac{k _{1} [ A ] _{0}}{k _{2} - k _{1}} (e^{- k_{1} t} - e^{- k_{2} t})$ 。\n\n最大は $d [B] / d t = 0$ 、すなわち $k_{1} e^{- k_{1} t} = k_{2} e^{- k_{2} t}$ のとき。 $t_{max} = \frac{lo g ( k _{2} / k _{1} )}{k _{2} - k _{1}} = \frac{lo g 2}{0.10} = 10 lo g 2 s$ 。\n\nこのとき $e^{- k_{1} t_{max}} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ 、 $e^{- k_{2} t_{max}} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$ 。\n\n $[B]_{max} = \frac{0.10 \times 0.80}{0.10} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 0.80 \times \frac{1}{4} = 0.20 mol L^{- 1}$ 。\n\n検算: 公式 $[A]_{0} (k_{1} / k_{2})^{k_{2} / (k_{2} - k_{1})} = 0.80 \times (1/2)^{2} = 0.20$ で一致。また最大点で $k_{1} [A] = 0.10 \times 0.40 = 0.04 = k_{2} [B] = 0.20 \times 0.20$ で釣り合っている。

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