微分方程式の問題

方針 右辺に $y^2$ があるので、この方程式は $y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$（$n=2$）の形のベルヌーイ型です。$u=y^{1-n}=\frac{1}{y}$ とおくと、1 階線形微分方程式に直せます。

手順 1：$y^2$ で割る $y>0$ なので両辺を $y^2$ で割ってよく、
$$\frac{y^{\prime }}{y^2}+\frac{1}{y}=e^x$$
となります。

手順 2：$u=\frac{1}{y}$ とおく 合成関数の微分より $u^{\prime }=-\frac{y^{\prime }}{y^2}$ なので、$\frac{y^{\prime }}{y^2}=-u^{\prime }$ です。代入すると
$$-u^{\prime }+u=e^x\text{すなわち}{u}^{\prime }-u=-e^x$$
という $u$ についての 1 階線形微分方程式になります。

手順 3：1 階線形微分方程式を解く $p(x)=-1$ なので積分因子は $e^{\int (-1)dx}=e^{-x}$ です。両辺に $e^{-x}$ を掛けると、左辺は $(u{e}^{-x}{)}^{\prime }$ にまとまり、
$$(u{e}^{-x}{)}^{\prime }=-1$$
両辺を積分して $u{e}^{-x}=-x+C$（$C$ は定数）、よって
$$u=(C-x)e^x.$$

手順 4：初期条件で定数を決める $y(0)=\frac{1}{2}$ より $u(0)=2$。$u(0)=C$ なので $C=2$ です。したがって
$$u=(2-x)e^x,y=\frac{1}{u}=\frac{e^{-x}}{2-x}.$$
$0\leqq x\leqq 1$ では $2-x>0$ なので $y>0$ を満たします。

確認 $y^{\prime }=-\frac{e^{-x}}{2-x}+\frac{e^{-x}}{(2-x{)}^2}$ より $y^{\prime }+y=\frac{e^{-x}}{(2-x{)}^2}$、一方 $e^x{y}^2=\frac{e^x{e}^{-2x}}{(2-x{)}^2}=\frac{e^{-x}}{(2-x{)}^2}$ で一致します。

答え $y(1)=\frac{e^{-1}}{2-1}=\frac{1}{e}$。

ベルヌーイ型の方程式なので $u=1/y$ とおく（$y>0$ より定義できる）。$u^{\prime }=-y^{\prime }/y^2=-(e^x{y}^2-y)/y^2=-e^x+u$ より $u^{\prime }-u=-e^x$。両辺に $e^{-x}$ を掛けると $(u{e}^{-x}{)}^{\prime }=-1$ となるので $u{e}^{-x}=-x+C$。$u(0)=1/y(0)=2$ より $C=2$。したがって $u=e^x(2-x)$、すなわち $y=\frac{e^{-x}}{2-x}$。これは $0\le x\le 1$ で正であり条件を満たす。
検算: $y^{\prime }+y=\frac{e^{-x}}{(2-x{)}^2}$、$e^x{y}^2=\frac{e^{-x}}{(2-x{)}^2}$ で一致し、$y(0)=1/2$ も満たす。よって $y(1)=e^{-1}/1=1/e$。