微分方程式の問題

これは $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ の形の 1 階線形微分方程式で、$p(x)=2x$、$q(x)=x{e}^{-x^2}$ です。積分因子を使って解きます。

手順 1：積分因子を求める。
$$\int p(x)dx=\int 2xdx=x^2$$ なので、積分因子は $e^{x^2}$ です（積分定数は $0$ にしてよい）。

手順 2：両辺に積分因子を掛ける。
$$e^{x^2}{y}^{\prime }+2x{e}^{x^2}y=x{e}^{-x^2}\cdot e^{x^2}=x.$$
積の微分 $(e^{x^2}y{)}^{\prime }=e^{x^2}{y}^{\prime }+2x{e}^{x^2}y$ より、左辺は $(e^{x^2}y{)}^{\prime }$ と書けます。したがって
$${\left(e^{x^2}y\right)}^{\prime }=x.$$

手順 3：両辺を積分する。
$$e^{x^2}y=\frac{x^2}{2}+C(C\text{ は定数}).$$
よって
$$y=\left(\frac{x^2}{2}+C\right)e^{-x^2}.$$

手順 4：初期条件で定数を決める。
$x=0$ を代入すると $y(0)=C=1$ です。したがって
$$y(x)=\left(\frac{x^2}{2}+1\right)e^{-x^2}.$$

手順 5：$x=1$ を代入する。
$$y(1)=\left(\frac{1}{2}+1\right)e^{-1}=\frac{3}{2e}.$$

（確認：$y^{\prime }=x{e}^{-x^2}-2x\left(\frac{x^2}{2}+1\right)e^{-x^2}$ なので、$y^{\prime }+2xy=x{e}^{-x^2}$ となり、微分方程式を満たしています。）

積分因子 $e^{x^2}$ を両辺にかけると $(e^{x^2}y{)}^{\prime }=e^{x^2}(y^{\prime }+2xy)=x$ となる。積分して $e^{x^2}y=\frac{x^2}{2}+C$。$y(0)=1$ より $C=1$。よって $y=e^{-x^2}\left(\frac{x^2}{2}+1\right)$。$x=1$ では $y(1)=\frac{3}{2}{e}^{-1}=\frac{3}{2e}$。検算：$y^{\prime }=-2x{e}^{-x^2}(x^2/2+1)+e^{-x^2}x$ なので $y^{\prime }+2xy=x{e}^{-x^2}$ となり、方程式を満たす。また $y(0)=1$ も成り立つ。