微分方程式

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=3x$$ と初期条件 $y(1)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を $x$ の式で表せ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+y=2e^x$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。$y(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=(2x+1)y$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ は、すべての実数 $x$ で $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=y\cos x$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、すべての実数 $x$ で $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$y^{\prime }=\frac{x}{y}$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }-3y=2e^x$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を $x$ の式で表せ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2xy=x{e}^{-x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2xy=2x{e}^{-x^2}$$ と初期条件 $y(0)=3$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$y^{\prime }+y=e^x{y}^2$$
と初期条件 $y(0)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。このとき $y(1)$ の値を求めよ。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$y^{\prime }+y=e^x{y}^2$$
と初期条件 $y(0)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$(2xy+e^x)+(x^2+1)y^{\prime }=0$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$$ と初期条件 $y(0)=2$, $y^{\prime }(0)=5$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=0$$
と初期条件 $y(0)=5$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$$ と初期条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=4$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=2e^x$$
と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=12e^x$$
と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2e^{3x}$$ と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$\lambda$ を実数の定数とする。区間 $0\le x\le 2$ で定義された関数 $y(x)$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(2)=0$$
が恒等的に $0$ でない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、最小のものを求めよ。

$\lambda$ を正の実数とする。$x$ の関数 $y$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(3)=0$$
が恒等的に $0$ ではない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、2 番目に小さいものを求めよ。

$\lambda$ を正の実数とする。$x$ の関数 $y(x)$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(2)=0$$
が恒等的に $0$ ではない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、最小のものを求めよ。

領域 $x>0,y>0$ において、微分方程式
$$y^{\prime }=\frac{x^2+y^2}{xy}$$
を考える。この方程式の解 $y=y(x)$ で、初期条件 $y(1)=2$ を満たし、$x=1$ を含むできるだけ広い区間で定義され、その区間で $x>0,y>0$ を満たすものを考える。この解は $x=e$ でも定義されている。このとき $y(e)$ の値を求めよ。

区間 $x\ge 1$ で定義された微分可能な関数 $y=y(x)$ が、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{xy}$$
と初期条件 $y(1)=2$ を満たすとする。このとき $y(e)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $y=y(x)$ についての微分方程式
$$x^2{y}^{\prime \prime }+2x{y}^{\prime }-6y=0$$
の解のうち、初期条件 $y(1)=1,y^{\prime }(1)=7$ を満たすものを求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+2y=0$$
と初期条件 $y(1)=1,y^{\prime }(1)=0$ を満たすとする。このとき $y(3)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $y=y(x)$ が、微分方程式
$$x^2{y}^{\prime \prime }-4x{y}^{\prime }+6y=0$$
と初期条件 $y(1)=0,y^{\prime }(1)=1$ を満たすとする。$x=e^t$ と置き換えて方程式を解き、$y$ を $x$ の式で表せ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ は、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+y\\ y^{\prime }=4x+y+3\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=1$ を満たす。$x(t)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=2x+y\\ y^{\prime }=3x+4y+5\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=0$ を満たすとき、$x(t)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x+y\\ y^{\prime }=-2x+t\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=0,y(0)=0$ を満たすとき、$x(t)$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題
$$y^{\prime }+2y=4u(t-1),y(0)=1$$
を満たすとする。ただし $u(t)$ は単位階段関数で、$t<0$ のとき $u(t)=0$、$t\ge 0$ のとき $u(t)=1$ とする。ラプラス変換を用いて $y(2)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題
$$y^{\prime }+2y=4u(t-1),y(0)=1$$
を満たすとする。ここで $u(t)$ は単位階段関数（$t<0$ のとき $u(t)=0$、$t\ge 0$ のとき $u(t)=1$）である。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y(2)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題
$$y^{\prime }+2y=4u(t-1),y(0)=1$$
を満たすとする。ただし $u(t)$ は単位階段関数（$t<0$ で $u(t)=0$、$t\ge 0$ で $u(t)=1$）である。ラプラス変換を用いて、$y(2)$ の値を求めよ。

区間 $[0,2]$ 上の連続関数 $f(x)$ に対して、境界値問題
$$-y^{\prime \prime }=f(x)(0\le x\le 2),y(0)=0,y(2)=0$$
を考える。この問題の解は、$0\le x\le 2$, $0\le s\le 2$ で定義された連続関数 $G(x,s)$（グリーン関数）を用いて、どんな連続関数 $f$ に対しても
$$y(x)={\int }_0^{2}G(x,s)f(s)ds$$
と表される。$0\le s\le x\le 2$ のときの $G(x,s)$ を $x,s$ の式で求めよ。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で定義された実数値の微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$(2xy+3x^2)+(x^2+2y)y^{\prime }=0$$
と条件 $y(1)=1$ をみたすとする。$y(0)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題 $$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=4e^{3t},y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2y=4x$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t)$, $y(t)$ が、連立微分方程式 $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+2y\\ y^{\prime }=2x+y\end{array}$$ と初期条件 $x(0)=1$, $y(0)=3$ を満たすとする。$x(t)$ を求めよ。

区間 $-1<x<1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }=\frac{1+y^2}{1+x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$I$ を $\mathbb{R}$ の開区間とし、$y:I\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、すべての $t\in I$ に対して $y(t)>0$ かつ
$$y^{\prime }(t)=y(t)-y(t{)}^3$$
を満たすとする。このとき、ある実数の定数 $C$ が存在して、すべての $t\in I$ に対して $e^{2t}+C>0$ かつ
$$y(t)=\frac{e^t}{\sqrt{e^{2t}+C}}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の定理は用いずに示すこと。

$M$ を正の実数とし、$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を連続関数で、すべての実数 $t$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすものとする。$y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、初期値問題
$$y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R}),y(0)=y_0$$
を満たすとする（$y_0$ は実数の定数）。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して
$$|y(t)|\le |y_0|e^{-2t}+\frac{M}{2}$$
が成り立つことを証明せよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$(1+x^2)y^{\prime }+2xy=\frac{1}{1+x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-5y\\ y^{\prime }=x-3y\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=0$ を満たすとする。$x(t)$ を求めよ。

容量 $200\text{L}$ のタンクがあり、時刻 $t=0$（単位は分）において、食塩 $10\text{kg}$ を含む食塩水 $100\text{L}$ が入っている。時刻 $t=0$ から、濃度 $0.2\text{kg/L}$ の食塩水を毎分 $3\text{L}$ の割合でタンクに注ぎ入れ、同時にタンク内の食塩水を毎分 $2\text{L}$ の割合で排出する。タンク内の食塩水はつねに瞬時に一様に混ざり、濃度は場所によらず一定であるとする。また、食塩水の体積は流入量と流出量だけで決まるものとし、食塩の溶解などによる体積変化は無視する。

時刻 $t$ におけるタンク内の食塩の量を $x(t)\text{kg}$ とし、$x(t)$ は微分可能であるとする。タンクがちょうど満杯になる時刻におけるタンク内の食塩の量は何 kg か。

区間 $1\le x\le 2$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $x+2y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$(2xy+y^2+1)+(x^2+2xy)y^{\prime }=0$$
と初期条件 $y(1)=1$ を満たすとする。$y(2)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=18x{e}^{-x}$$
と条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに区間 $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }y(x)dx$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された連続関数 $y(t)$ が、積分方程式
$$y(t)=1+2{\int }_0^t\cos (t-\tau )y(\tau )d\tau (t\ge 0)$$
を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。ただし、$y(t)$ は指数位数であり、ラプラス変換をもつものとする。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-5y\\ y^{\prime }=x-y\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=1$ を満たすとする。$x\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、初期値問題
$$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+2y=2u(t-\pi ),y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$$
を満たすとする。ただし $u(t)$ は単位階段関数（ヘヴィサイド関数）で、$t<0$ のとき $u(t)=0$、$t\ge 0$ のとき $u(t)=1$ とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{3\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=\frac{e^x}{x^2}$$
と初期条件 $y(1)=0$, $y^{\prime }(1)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

区間 $0\leqq x<\frac{\pi }{2}$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }-y\tan x=2\sin x$$
と初期条件 $y(0)=1$ をみたすとする。$y\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+9y=12\sin 3x+9x$$ と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=8e^{-x}\cos 2x$$ と初期条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-1$ を満たすとする。$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$x\ge 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式 $$x{y}^{\prime }+y=y^2\log x$$ と初期条件 $y(1)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された微分可能な関数 $y(t)$ が、積分を含む微分方程式 $$y^{\prime }(t)+2y(t)+5{\int }_0^{t}y(\tau )d\tau =10e^{-t}(t\ge 0)$$ と初期条件 $y(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて、$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $x(t)$, $y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-2y\\ y^{\prime }=2x-2y+3e^{-t}\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1$, $y(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて、$x(t)-2y(t)$ を $t$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とし、$A$ を $A^2=-E$（$E$ は $n$ 次単位行列）を満たす $n$ 次実正方行列とする（このような $A$ が存在するのは $n$ が偶数のときに限られる）。$\mathbf{x}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ は微分可能な関数で、すべての実数 $t$ に対して
$${\mathbf{x}}^{\prime }(t)=A\mathbf{x}(t)$$
を満たすとする。このとき、すべての実数 $t$ に対して
$$\mathbf{x}(t)=(\cos t)\mathbf{x}(0)+(\sin t)A\mathbf{x}(0)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、微分方程式の解の存在と一意性の定理は用いずに示すこと（平均値の定理、積の微分公式は用いてよい）。

$[0,\infty )$ 上の関数 $h$ が指数位数であるとは、定数 $K>0$ と実数 $\alpha$ があって、すべての $t\ge 0$ で $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ が成り立つことをいう（このとき $\beta \ge \alpha$ を満たす任意の実数 $\beta$ についても $|h(t)|\le K{e}^{\beta t}$ が成り立つ）。$h$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[h](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}h(t)dt$（$s$ は実数）、$[0,\infty )$ 上の関数 $g,h$ の畳み込みを $(g\ast h)(t)={\int }_0^{t}g(t-\tau )h(\tau )d\tau$ と定める。

$M$ を正の実数とし、$f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は連続で、すべての $t\ge 0$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすとする。$y:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は 2 回微分可能（$t=0$ では右側微分）で $y^{\prime \prime }$ が連続であり、$y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれも指数位数で、
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+y(t)=f(t)(t\ge 0),y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$$
を満たすとする。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して $|y(t)|\le M$ が成り立つことを、ラプラス変換を用いて証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい（$s$ は実数とする）。
- $(\mathrm{a})$ $h$ が連続で、ある $K>0$ と実数 $\alpha$ について $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ $(t\ge 0)$ のとき、$s>\alpha$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h](s)$ を定める積分は収束する。また、$\mathcal{L}$ は線形である（$\mathcal{L}[h_1],\mathcal{L}[h_2]$ がともに存在する $s$ で $\mathcal{L}[c_1{h}_1+c_2{h}_2]=c_1\mathcal{L}[h_1]+c_2\mathcal{L}[h_2]$）。
- $(\mathrm{b})$ $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ が連続で、ある共通の $K>0$ と実数 $\alpha$ についていずれも $K{e}^{\alpha t}$ で抑えられるとき、$s>\alpha$ で $\mathcal{L}[y^{\prime }]=s\mathcal{L}[y]-y(0)$、$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^2\mathcal{L}[y]-sy(0)-y^{\prime }(0)$。
- $(\mathrm{c})$（畳み込み定理）$g,h$ が連続で指数位数ならば、$g\ast h$ も連続で指数位数であり、ある実数 $s_1$ があって $s>s_1$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[g\ast h](s)=\mathcal{L}[g](s)\mathcal{L}[h](s)$。
- $(\mathrm{d})$（ラプラス変換の一意性）連続で指数位数の $h_1,h_2$ について、ある実数 $s_0$ があって $s>s_0$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h_1](s)=\mathcal{L}[h_2](s)$ ならば、$[0,\infty )$ 上で $h_1=h_2$。

区間 $x\geqq 0$ で定義された実数値の微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $x+2y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$(y^2+xy+y)+(x+2y)y^{\prime }=0$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(2)$ の値を求めよ。

$x\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=6e^{-x}-4(x\ge 0)$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、$x\ge 0$ における $y(x)$ の最小値を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $y(t)$ が、積分方程式
$$y(t)=e^{-t}+2{\int }_0^t\cos (t-\tau )y(\tau )d\tau (t\geqq 0)$$
を満たすとする。ただし $y(t)$ は指数位数（ある定数 $M,a$ に対して $|y(t)|\leqq M{e}^{at}$）であり、ラプラス変換をもつものとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

区間 $x\ge 0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、
$$(1+x^2)y{y}^{\prime }+x{y}^2=\sqrt{1+x^2},y(0)=1$$
を満たすとする。$y\left(\frac{3}{4}\right)$ の値を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+y\\ y^{\prime }=-x+3y+e^{2t}\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=0$ をみたすとする。$x(t)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t)$, $y(t)$ が、連立微分方程式 $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-y+e^{2t}\\ y^{\prime }=x+y\end{array}$$ と初期条件 $x(0)=1$, $y(0)=0$ を満たすとする。$x(t)$ を求めよ。

$t\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(t)$ が、変数係数の微分方程式 $$t{y}^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ty=0(t\ge 0)$$ と条件 $y(0)=1$ を満たすとする。ただし $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれもラプラス変換が存在する（指数位数の）関数とする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$x{y}^{\prime }+2y=\sin x(x>0)$$ を満たし、さらに $x\to +0$ のとき $y(x)$ がある有限の値に収束するとする。$y(\pi )$ の値を求めよ。

区間 $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+y=4x\cos x$$ と境界条件 $y(0)=0$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $x_1(t),x_2(t),x_3(t)$ が、連立微分方程式 $$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=-2x_1+x_2\\ x_2^{\prime }=x_1-2x_2+x_3\\ x_3^{\prime }=x_2-2x_3\end{array}$$ と初期条件 $x_1(0)=0$, $x_2(0)=1$, $x_3(0)=0$ を満たすとする。$t>0$ の範囲で $x_1(t)$ が最大となる $t$ の値を求めよ。

$x\ge 0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式 $$y^{\prime }+\frac{2x}{1+x^2}y=y^3$$ と初期条件 $y(0)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。$y(1)$ の値を求めよ。

関数 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ をもつとは、すべての実数 $t$ に対して $h(t+2\pi )=h(t)$ が成り立つことをいう。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を周期 $2\pi$ をもつ連続関数とする。微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R})$$
の解であって、$\mathbb{R}$ 上で 2 回微分可能かつ周期 $2\pi$ をもつ関数 $y$ が、ちょうど 1 つ存在することを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の一般定理は用いずに示すこと。広義積分の基本的な性質（絶対収束すれば収束する、など）と微分積分学の基本定理は用いてよい。