微分方程式の問題

線形化 $u=y^2$ とおくと $u^{\prime }=2y{y}^{\prime }$ なので、与えられた方程式は
$$\frac{1+x^2}{2}{u}^{\prime }+xu=\sqrt{1+x^2}\text{すなわち}{u}^{\prime }+\frac{2x}{1+x^2}u=\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}$$
という 1 階線形微分方程式になる。初期条件は $u(0)=y(0{)}^2=1$。

積分因子 $\exp \int \frac{2x}{1+x^2}dx=1+x^2$ を両辺に掛けると
$$((1+x^2)u{)}^{\prime }=2\sqrt{1+x^2}.$$

$\int \sqrt{1+x^2}dx$ の計算 $I=\int \sqrt{1+x^2}dx$ とおき部分積分すると
$$I=x\sqrt{1+x^2}-\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}dx=x\sqrt{1+x^2}-\int \frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}}dx=x\sqrt{1+x^2}-I+\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.$$
また $t=x+\sqrt{1+x^2}$ と置換すると $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C$ である。よって
$$2I=x\sqrt{1+x^2}+\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C.$$

初期条件 $0$ から $x$ まで積分し、$(1+0^2)u(0)=1$ を用いると
$$(1+x^2)u(x)=1+x\sqrt{1+x^2}+\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right).$$
$x\ge 0$ では右辺は正なので $u>0$ であり、$y>0$ より $y=\sqrt{u}$ と一意に定まる。

$x=\frac{3}{4}$ での値 $1+x^2=\frac{25}{16}$, $\sqrt{1+x^2}=\frac{5}{4}$, $x\sqrt{1+x^2}=\frac{15}{16}$, $\log \left(\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\right)=\log 2$ より
$$u\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{16}{25}\left(1+\frac{15}{16}+\log 2\right)=\frac{16}{25}\cdot \frac{31+16\log 2}{16}=\frac{31+16\log 2}{25}.$$
したがって
$$y\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{\sqrt{31+16\log 2}}{5}.$$

$u=y^2$ とおくと $u^{\prime }=2y{y}^{\prime }$ なので、与式は $\frac{1}{2}(1+x^2)u^{\prime }+xu=\sqrt{1+x^2}$、すなわち $(1+x^2)u^{\prime }+2xu=2\sqrt{1+x^2}$。左辺は $\{(1+x^2)u{\}}^{\prime }$ に等しい。\n両辺を積分して $(1+x^2)u=2\int \sqrt{1+x^2}dx=x\sqrt{1+x^2}+\log \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C$。\n$x=0,u=1$ より $1=C$。\n$x=\frac{3}{4}$ のとき $\sqrt{1+x^2}=\frac{5}{4}$、$1+x^2=\frac{25}{16}$、$x\sqrt{1+x^2}=\frac{15}{16}$、$\log \left(\frac{3}{4}+\frac{5}{4}\right)=\log 2$。よって $\frac{25}{16}u=\frac{15}{16}+\log 2+1=\frac{31}{16}+\log 2$、$u=\frac{31+16\log 2}{25}$。\n$y>0$ より $y=\frac{\sqrt{31+16\log 2}}{5}$。\n検算: 一般解 $u=\frac{x\sqrt{1+x^2}+\mathrm{arsinh}x+1}{1+x^2}$ は $x\ge 0$ で正であり、$u(0)=1$ を満たす。$y=\sqrt{u}$ は微分可能で条件を満たす。