微分方程式の問題

微分方程式を微分形式で書くと
$$Mdx+Ndy=0,M=y^2+xy+y,N=x+2y$$
である。

完全形かどうかの確認. $M_y=2y+x+1$、$N_x=1$ なので $M_y\ne N_x$ であり、このままでは完全微分方程式ではない。

積分因子.
$$\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{2y+x}{x+2y}=1$$
は $x$ だけの関数（定数）なので、$x$ だけの関数の積分因子 $\mu (x)$ が存在し、${\mu }^{\prime }/\mu =1$ より $\mu (x)=e^x$ ととれる。両辺に $e^x$ を掛けると
$$e^x(y^2+xy+y)dx+e^x(x+2y)dy=0$$
となる。$\tilde{M}=e^x(y^2+xy+y)$、$\tilde{N}=e^x(x+2y)$ とおくと
$${\tilde{M}}_y=e^x(2y+x+1),{\tilde{N}}_x=e^x(x+2y)+e^x=e^x(x+2y+1)$$
で一致するから、完全微分方程式である。

ポテンシャル関数. $F_y=e^x(x+2y)$ を $y$ で積分して
$$F(x,y)=e^x(xy+y^2)+g(x).$$
これを $x$ で微分すると
$$F_x=e^x(xy+y^2)+e^{x}y+g^{\prime }(x)=e^x(y^2+xy+y)+g^{\prime }(x).$$
これが $\tilde{M}$ に等しいので $g^{\prime }(x)=0$ である。よって一般解は
$$e^x(y^2+xy)=C(C\text{ は定数}).$$

初期条件. $x=0$、$y=1$ を代入すると $C=e^0(1^2+0\cdot 1)=1$。したがって
$$y^2+xy-e^{-x}=0.$$

$y$ について解く. $y$ についての 2 次方程式とみて解の公式を使うと
$$y=\frac{-x\pm \sqrt{x^2+4e^{-x}}}{2}.$$
このとき $x+2y=\pm \sqrt{x^2+4e^{-x}}$ であり、条件 $x+2y>0$ より符号は $+$ をとる：
$$y(x)=\frac{-x+\sqrt{x^2+4e^{-x}}}{2}.$$
実際、$x=0$ を代入すると $y(0)=\frac{\sqrt{4}}{2}=1$ となり初期条件を満たし、$x+2y=\sqrt{x^2+4e^{-x}}>0$ もすべての $x\geqq 0$ で成り立つ。

$y(2)$ の計算.
$$y(2)=\frac{-2+\sqrt{4+4e^{-2}}}{2}=\frac{-2+2\sqrt{1+e^{-2}}}{2}=\sqrt{1+e^{-2}}-1.$$

したがって答えは $\sqrt{1+e^{-2}}-1$ である。

方程式を $(y^2+xy+y)dx+(x+2y)dy=0$ と書き、$M=y^2+xy+y$、$N=x+2y$ とおく。

$M_y=2y+x+1$、$N_x=1$ なので完全微分形ではない。

$(M_y-N_x)/N=(2y+x)/(x+2y)=1$ は $x$ だけの関数なので、積分因子 $\mu =e^x$ が使える。

$e^{x}Mdx+e^{x}Ndy=0$ は完全微分形になる。実際、$F_y=e^x(x+2y)$ から $F=e^x(xy+y^2)+g(x)$ となる。
$F_x=e^x(xy+y^2)+e^{x}y+g^{\prime }(x)$ と $e^{x}M=e^x(y^2+xy+y)$ を比べると $g^{\prime }=0$ である。

よって一般解は $e^x(y^2+xy)=C$ である。

初期条件 $y(0)=1$ より $C=1$ なので、$y^2+xy=e^{-x}$ となる。

$x=2$ のとき $y^2+2y-e^{-2}=0$ なので、$y=-1\pm \sqrt{1+e^{-2}}$ である。

条件 $x+2y>0$ より $2+2y>0$、すなわち $y>-1$ である。したがって正符号をとる。

一般の $x$ では $y=\frac{-x+\sqrt{x^2+4e^{-x}}}{2}$ であり、$x+2y=\sqrt{x^2+4e^{-x}}>0$ を満たす。$x=0$ で $y=1$ となり、初期条件とも整合する。

答え: $y(2)=-1+\sqrt{1+e^{-2}}$