微分方程式の問題

微分方程式を $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,P=2xy+3x^2,Q=x^2+2y$$ の形で考える。

完全形の確認: $$\frac{\partial P}{\partial y}=2x,\frac{\partial Q}{\partial x}=2x$$ で等しいので、この方程式は完全微分方程式である。

ポテンシャル関数: $\frac{\partial F}{\partial x}=P$、$\frac{\partial F}{\partial y}=Q$ となる $F$ を求める。$P$ を $x$ で積分して $$F(x,y)=x^{2}y+x^3+g(y).$$ これを $y$ で偏微分すると $x^2+g^{\prime }(y)$ で、これが $Q=x^2+2y$ に等しいので $g^{\prime }(y)=2y$、$g(y)=y^2$ とできる。よって $$F(x,y)=x^{2}y+x^3+y^2.$$

一般解と初期条件: 解は $\frac{d}{dx}F(x,y(x))=P+Q{y}^{\prime }=0$ をみたすので $$x^{2}y+x^3+y^2=C(C\text{ は定数}).$$ $y(1)=1$ を代入して $C=1+1+1=3$。よって $$y^2+x^{2}y+(x^3-3)=0.$$

枝の選択: $y$ についての 2 次方程式として解くと $$y=\frac{-x^2\pm \sqrt{x^4-4x^3+12}}{2}.$$ $0\leqq x\leqq 1$ では $x^4-4x^3+12\geqq 12-4=8>0$ なので、2 つの枝は交わらない。$y(x)$ は連続なので一方の枝に属し、$x=1$ で $\frac{-1+3}{2}=1$ となるのは $+$ の枝である。よって $$y(x)=\frac{-x^2+\sqrt{x^4-4x^3+12}}{2}$$ （このとき $x^2+2y=\sqrt{x^4-4x^3+12}>0$ で、方程式は $y^{\prime }$ について解ける形になっている）。

したがって $$y(0)=\frac{0+\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}.$$

$M=2xy+3x^2$, $N=x^2+2y$ とおくと $M_y=2x=N_x$ で完全微分形。ポテンシャル $F(x,y)=x^{2}y+x^3+y^2$（$F_x=2xy+3x^2$, $F_y=x^2+2y$）。解は $F=C$。
$y(1)=1$ より $C=1+1+1=3$。よって $y^2+x^{2}y+x^3-3=0$、$y=\frac{-x^2\pm \sqrt{x^4-4x^3+12}}{2}$。$x=1$ で $y=1$ となるのは $+$ の符号（$\frac{-1+3}{2}=1$）。
$[0,1]$ で判別式 $x^4-4x^3+12>0$（$x\in [0,1]$ では $\ge 9$）なので $+$ の枝は連続・微分可能。$-$ の枝へは移れない（$y$ が 2 根の間で連続に保たれ、2 根は一致しない）。
$x=0$: $y(0)=\frac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}$。
検算: $y(0{)}^2=3=C$ ✓、$y(1)=1$ ✓。