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微分方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分方程式

実数全体で定義された微分可能な関数 $y (x)$ が、微分方程式
$(2 x y + e^{x}) + (x^{2} + 1) y^{'} = 0$
と初期条件 $y (0) = 2$ を満たすとする。 $y (x)$ を求めよ。

この問題で使うもの

完全微分方程式とベルヌーイ型（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

完全微分方程式の技能を使います。 $P = 2 x y + e^{x}$ 、 $Q = x^{2} + 1$ とおき、 $\frac{\partial P}{\partial y}$ と $\frac{\partial Q}{\partial x}$ を比べて完全微分形か確かめましょう。

ヒント 2

完全微分形なら、 $\frac{\partial F}{\partial x} = P$ 、 $\frac{\partial F}{\partial y} = Q$ を満たす $F (x, y)$ を探します。まず $P$ を $x$ で積分し、 $y$ だけの関数 $g (y)$ を付け加えておきます。

ヒント 3

$F (x, y) = x^{2} y + e^{x} + y$ となるので、解は $x^{2} y + e^{x} + y = C$ を満たします。あとは初期条件 $y (0) = 2$ から $C$ を決め、 $y$ について解きましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{3 - e ^{x}}{x ^{2} + 1}

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解説を読む

手順 1：形を確認する。
与えられた方程式は $y^{'} = \frac{d y}{d x}$ と書くと
$(2 x y + e^{x}) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$
の形である。そこで
$P (x, y) = 2 x y + e^{x}, Q (x, y) = x^{2} + 1$
とおく。

手順 2：完全微分形かどうかを判定する。
$\frac{\partial P}{\partial y} = 2 x, \frac{\partial Q}{\partial x} = 2 x$
となり、両者は一致する。したがって、この方程式は完全微分形である。つまり $\frac{\partial F}{\partial x} = P$ 、 $\frac{\partial F}{\partial y} = Q$ を満たす関数 $F (x, y)$ があり、解は $F (x, y) = C$ （ $C$ は定数）で表される。

手順 3： $F$ を求める。
$\frac{\partial F}{\partial x} = 2 x y + e^{x}$ を、 $y$ を定数とみて $x$ で積分すると
$F (x, y) = x^{2} y + e^{x} + g (y)$
となる。ここで $g (y)$ は $y$ だけの関数である。これを $y$ で偏微分すると
$\frac{\partial F}{\partial y} = x^{2} + g^{'} (y)$
である。これが $Q = x^{2} + 1$ に等しいので $g^{'} (y) = 1$ 、よって $g (y) = y$ とすればよい（積分定数は $C$ にまとめる）。したがって
$F (x, y) = x^{2} y + e^{x} + y$
である。

手順 4：一般解を求める。
解は $x^{2} y + e^{x} + y = C$ を満たす。 $y$ について解くと
$y = \frac{C - e ^{x}}{x ^{2} + 1}$
となる。

手順 5：初期条件で定数を決める。
$x = 0$ 、 $y = 2$ を代入すると $0 + 1 + 2 = C$ より $C = 3$ である。よって
$y (x) = \frac{3 - e ^{x}}{x ^{2} + 1}$
である。

検算
$(x^{2} + 1) y = 3 - e^{x}$ の両辺を $x$ で微分すると $2 x y + (x^{2} + 1) y^{'} = - e^{x}$ となる。これを移項すると $(2 x y + e^{x}) + (x^{2} + 1) y^{'} = 0$ となり、もとの方程式を満たす。また $y (0) = \frac{3 - 1}{1} = 2$ であり、初期条件も満たす。

別解

与式は $(2 x y + e^{x}) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$ と書ける。 $M = 2 x y + e^{x}$ 、 $N = x^{2} + 1$ とおくと $M_{y} = 2 x = N_{x}$ なので完全微分形である。

ポテンシャル関数は $F = (x^{2} + 1) y + e^{x}$ で、 $F_{x} = 2 x y + e^{x}$ 、 $F_{y} = x^{2} + 1$ となり確かに一致する。したがって一般解は $(x^{2} + 1) y + e^{x} = C$ である。

別の方法でも確かめる。両辺を $x^{2} + 1$ で割ると $y^{'} + \frac{2 x}{x ^{2} + 1} y = - \frac{e ^{x}}{x ^{2} + 1}$ となる。積分因子 $x^{2} + 1$ を掛けると $((x^{2} + 1) y)^{'} = - e^{x}$ なので、 $(x^{2} + 1) y = - e^{x} + C$ となり、上と一致する。

初期条件 $y (0) = 2$ を代入すると $1 \cdot 2 + 1 = 3 = C$ なので、
$y (x) = \frac{3 - e ^{x}}{x ^{2} + 1}$

検算: $y (0) = (3 - 1) /1 = 2$ で初期条件を満たす。また $(x^{2} + 1) y = 3 - e^{x}$ を微分すると $2 x y + (x^{2} + 1) y^{'} = - e^{x}$ となり、元の式と一致する。分母 $x^{2} + 1$ は 0 にならないので、解は実数全体で定義される。

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