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微分方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分方程式

実数全体で定義された微分可能な関数 $y (x)$ が、つねに $y (x) > 0$ を満たし、微分方程式
$\frac{d y}{d x} = (2 x + 1) y$
と初期条件 $y (0) = 2$ を満たすとする。 $y (x)$ を求めよ。

この問題で使うもの

変数分離形（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

変数分離形の解き方を使います。 $y$ を含む部分を左辺に、 $x$ を含む部分を右辺に集めましょう。

ヒント 2

両辺を $y$ で割ると $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$ になります。これを $\int \frac{1}{y} d y = \int (2 x + 1) d x$ として積分します。

ヒント 3

積分すると $lo g y = x^{2} + x + C$ となるので、 $y = e^{C} e^{x^{2} + x}$ です。あとは $y (0) = 2$ を使って $e^{C}$ を決めましょう。

答えと解説

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2 e^{x^{2} + x}

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解説を読む

方針：右辺が「 $x$ だけの式」 $\times$ 「 $y$ だけの式」の積になっているので、変数分離形として解きます。

手順1（変数を分ける）
$y > 0$ なので、両辺を $y$ で割ることができます。
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$
左辺は $y$ だけ、右辺は $x$ だけの式になりました。

手順2（両辺を $x$ で積分する）
両辺を $x$ で積分します。左辺は置換積分により $y$ についての積分に直せるので
$\int \frac{1}{y} d y = \int (2 x + 1) d x$
となります。 $y > 0$ より $\int \frac{1}{y} d y = lo g y$ です。したがって、 $C$ を任意定数として
$lo g y = x^{2} + x + C$
が成り立ちます。

手順3（ $y$ について解く）
対数の定義から
$y = e^{x^{2} + x + C} = e^{C} e^{x^{2} + x}$
となります。

手順4（初期条件で定数を決める）
$x = 0$ を代入すると $y (0) = e^{C} e^{0} = e^{C}$ です。 $y (0) = 2$ より $e^{C} = 2$ となります。よって
$y = 2 e^{x^{2} + x}$
です。

確かめ：合成関数の微分より
$y^{'} = 2 e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) = (2 x + 1) y$
となり、微分方程式を満たします。また $y (0) = 2$ であり、つねに $y > 0$ です。

答え： $y (x) = 2 e^{x^{2} + x}$

別解

y>0 なので変数分離できる。 $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$ の両辺を $x$ で積分すると $lo g y = x^{2} + x + C$ （ $y > 0$ なので絶対値は不要）。したがって $y = A e^{x^{2} + x}$ （ $A = e^{C} > 0$ ）。初期条件 $y (0) = 2$ より $A = 2$ 。よって $y (x) = 2 e^{x^{2} + x}$ 。
検算： $y^{'} = 2 e^{x^{2} + x} (2 x + 1) = (2 x + 1) y$ で微分方程式を満たし、 $y (0) = 2 e^{0} = 2$ で初期条件も満たす。また $y > 0$ も満たす。

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