微分方程式の問題

方針（変数分離形） 右辺が「$y$ だけの式」$\times$「$x$ だけの式」の積 $y\cdot \cos x$ になっているので、$y$ を左辺に、$x$ を右辺に集めてから両辺を積分します。

手順 1：変数を分ける $y>0$ なので両辺を $y$ で割れて、
$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\cos x.$$

手順 2：両辺を $x$ で積分する 左辺は置換積分により $\int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}dx=\int \frac{1}{y}dy$ となるから、
$$\int \frac{1}{y}dy=\int \cos xdx.$$
$y>0$ より $\int \frac{1}{y}dy=\log y$、また $\int \cos xdx=\sin x$ なので、積分定数を $C$ として
$$\log y=\sin x+C.$$

手順 3：$y$ について解く 対数の定義より
$$y=e^{\sin x+C}=e^C{e}^{\sin x}.$$

手順 4：初期条件で定数を決める $x=0$ のとき $\sin 0=0$ なので $y(0)=e^C{e}^0=e^C$。これが $2$ に等しいから $e^C=2$。

よって
$$y(x)=2e^{\sin x}.$$

確かめ $y^{\prime }=2e^{\sin x}\cdot \cos x=y\cos x$ であり、$y(0)=2e^0=2$、また常に $y>0$ なので条件をすべて満たします。

y>0 なので変数分離できる。$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\cos x$ より $\frac{d}{dx}\log y=\cos x$。積分して $\log y=\sin x+C$、すなわち $y=A{e}^{\sin x}$（$A=e^C>0$）。初期条件 $y(0)=2$ より $A{e}^0=2$ なので $A=2$。よって $y(x)=2e^{\sin x}$。
検算：$y^{\prime }=2e^{\sin x}\cos x=y\cos x$、$y(0)=2e^0=2$、また $y>0$ を満たす。
一意性：$y>0$ のとき $(y{e}^{-\sin x}{)}^{\prime }=y^{\prime }{e}^{-\sin x}-y\cos x{e}^{-\sin x}=0$ なので $y{e}^{-\sin x}$ は定数であり、解は一意に定まる。