微分方程式の問題

手順1：同次形であることを確かめる。
右辺の分母と分子を $xy$ で割ると
$$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$$
となります。右辺は $\frac{y}{x}$ だけの式なので、この方程式は同次形 $y^{\prime }=f\left(\frac{y}{x}\right)$ です。なお、右辺の分母に $y$ があるので、解は $y\ne 0$ を満たします。

手順2：$y=xu$ と置き換える。
$u=\frac{y}{x}$ とおくと $y=xu$ です。積の微分により
$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$
となります。右辺は $\frac{1}{u}+u$ なので
$$u+x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}+u⟹x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}$$
が得られます。

手順3：変数分離形として解く。
$u$ を左辺に、$x$ を右辺に集めると
$$udu=\frac{1}{x}dx$$
となります。両辺を積分すると、$x\ge 1>0$ より
$$\frac{u^2}{2}=\log x+C(C\text{ は定数})$$
です。

手順4：初期条件から定数を決める。
$y(1)=2$ より $u(1)=\frac{2}{1}=2$ です。代入すると
$$\frac{4}{2}=\log 1+C$$
で、$\log 1=0$ なので $C=2$ です。よって
$$u^2=2\log x+4$$
です。$x\ge 1$ では $\log x\ge 0$ なので $u^2\ge 4$ となり、$u$ は $0$ にはなりません。$u$ は連続で $u(1)=2>0$ なので、$x\ge 1$ の全体で $u>0$ です。したがって
$$u=\sqrt{2\log x+4},y=x\sqrt{2\log x+4}$$
が求める解です。

手順5：$x=e$ を代入する。
$\log e=1$ なので
$$y(e)=e\sqrt{2+4}=\sqrt{6}e$$
です。

同次形の微分方程式である。$y=ux$ とおくと $y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$ であり、右辺は $\frac{1+u^2}{u}$ となる。よって $x{u}^{\prime }=\frac{1+u^2}{u}-u=\frac{1}{u}$ となり、$udu=\frac{dx}{x}$ と変数分離できる。両辺を積分して $\frac{u^2}{2}=\log x+C$ を得る。

$u=y/x$ を戻すと $\frac{y^2}{x^2}=2\log x+C^{\prime }$ である。初期条件 $y(1)=2$ より $4=C^{\prime }$。したがって $y^2=x^2(2\log x+4)$ となる。

$y(1)=2>0$ であり、$y$ が連続で $y^2=x^2(2\log x+4)>0$ ($x\ge 1$) なので $y$ は 0 にならず、常に正である。ゆえに $y=x\sqrt{2\log x+4}$ である。

$x=e$ のとき $y(e)=e\sqrt{2+4}=e\sqrt{6}$。

検算として、$y^2=x^2(2\log x+4)$ を微分すると $2y{y}^{\prime }=2x(2\log x+4)+2x$ となる。よって $y{y}^{\prime }=x(2\log x+5)$ である。一方、方程式から $y{y}^{\prime }=\frac{x^2+y^2}{x}=x+x(2\log x+4)=x(2\log x+5)$ となり一致する。