同次形の微分方程式

$y^{'} = f (\frac{y}{x})$ の形の方程式を $y = xu$ と置き換えて変数分離形に直し、初期条件を満たす解を求められる

前提

変数分離形（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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変数分離形（大学数学微分方程式）

説明

右辺が $\frac{y}{x}$ だけの式で書ける微分方程式 $y^{'} = f (\frac{y}{x})$ を「同次形」といいます。このままでは $x$ と $y$ を左右に分けられませんが、 $y = xu$ と置き換えると、 $u$ についての変数分離形に直せます。こうして一般解を求め、初期条件を満たす解を 1 つに決められるようになります。 $y^{'} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y}$ のように、分子と分母の各項の次数がそろった分数式が右辺にあるときによく使います。

なぜそうしてよいのか

右辺が $\frac{y}{x}$ だけで決まるので、 $u = \frac{y}{x}$ という新しい未知関数を考えるのが自然です。 $y = xu$ （ $u$ は $x$ の関数）とおき、積の微分を使うと $y^{'} = u + x u^{'}$ となります。これを $y^{'} = f (u)$ に代入すると $u + x u^{'} = f (u)$ 、つまり $x \frac{d u}{d x} = f (u) - u$ です。右辺は $u$ だけの式、左辺の係数は $x$ だけなので、 $f (u) - u \neq = 0$ かつ $x \neq = 0$ のところでは $\frac{d u}{f ( u ) - u} = \frac{d x}{x}$ と変数分離できます。あとは前提の技能どおり両辺を積分すればよいわけです。

注意点として、 $f (c) - c = 0$ となる定数 $c$ があれば、 $u = c$ （すなわち直線 $y = c x$ ）も解になります。両辺を $f (u) - u$ で割るとこの解は落ちるので、別に確かめます。また $u = \frac{y}{x}$ を使うので $x \neq = 0$ の範囲で考えます。

手順

右辺を $\frac{y}{x}$ だけの式に書き直し、 $y^{'} = f (\frac{y}{x})$ の形であることと $f (u)$ を確かめる（分子・分母を $x$ の適当な累乗で割るとよい）
$y = xu$ とおき、積の微分で $y^{'} = u + x \frac{d u}{d x}$ として方程式に代入し、 $x \frac{d u}{d x} = f (u) - u$ を得る
$f (c) - c = 0$ となる定数 $c$ があれば、 $y = c x$ が解になることを記録しておく
$x \neq = 0$ 、 $f (u) - u \neq = 0$ として $\frac{d u}{f ( u ) - u} = \frac{d x}{x}$ と分離し、両辺を積分する（積分定数 $C$ を忘れない）
$u = \frac{y}{x}$ を戻して $x, y$ の関係式にする
初期条件を代入して $C$ を決める。初期点の近くで符号や定義域を確かめ、 $y$ を 1 つに決める

例題

微分方程式 $y^{'} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の解のうち、 $y (1) = 2$ を満たすものを $y = (x の式)$ の形で求めよ（ $x > 0$ の範囲で考える）。

例題の解答

【手順1】右辺はすでに $\frac{y}{x}$ だけの式で、 $\frac{x}{y} = \frac{1}{y / x}$ だから $f (u) = u + \frac{1}{u}$ である（ $y \neq = 0$ で考える）。
【手順2】 $y = xu$ とおくと $y^{'} = u + x u^{'}$ 。代入して $u + x u^{'} = u + \frac{1}{u}$ 、よって $x \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u}$ 。
【手順3】 $f (u) - u = \frac{1}{u}$ は 0 にならないので、 $y = c x$ の形の解はない。
【手順4】分離して $u d u = \frac{d x}{x}$ 。積分すると $\frac{u ^{2}}{2} = lo g ∣ x ∣ + C$ 。 $x > 0$ なので $u^{2} = 2 lo g x + 2 C$ 。
【手順5】 $u = \frac{y}{x}$ を戻して $y^{2} = x^{2} (2 lo g x + 2 C)$ 。
【手順6】 $x = 1, y = 2$ を代入すると $4 = 2 C$ 、よって $2 C = 4$ で $y^{2} = x^{2} (2 lo g x + 4)$ 。 $y (1) = 2 > 0$ なので初期点の近くでは $y > 0$ を選び、 $y = x 2 lo g x + 4$ となる。根号の中が正であるのは $x > e^{- 2}$ のときで、この範囲で解になる。
確認: $y^{'} = 2 lo g x + 4 + \frac{1}{2 l o g x + 4}$ であり、 $\frac{y}{x} = 2 lo g x + 4$ 、 $\frac{x}{y} = \frac{1}{2 l o g x + 4}$ だから、方程式を満たしている。

答え: $x 2 lo g x + 4$

よくある誤り

$y = xu$ の微分を $y^{'} = x u^{'}$ としてしまう誤り。 $u$ も $x$ の関数なので、積の微分で $y^{'} = u + x u^{'}$ となる。
最後に $u = \frac{y}{x}$ を戻し忘れ、 $u$ の式（例: $u^{2} = 2 lo g x + 4$ ）のまま答えてしまう誤り。正しくは $y^{2} = x^{2} (2 lo g x + 4)$ に戻してから $y$ を求める。
$f (u) - u$ で割るときに、 $f (c) - c = 0$ から出る直線解を落としてしまう誤り。たとえば $y^{'} = \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^{2}$ では $x u^{'} = u^{2}$ を $u^{2}$ で割る前に、 $u = 0$ すなわち $y = 0$ も解であることを確かめる。
$y^{2} = x^{2} (2 lo g x + 4)$ から $y = \pm x 2 lo g x + 4$ のまま答えてしまう誤り。初期条件 $y (1) = 2 > 0$ から符号を $+$ に決め、定義域 $x > e^{- 2}$ も確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

同次形の微分方程式

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