微分方程式の問題

手順1：同次形であることを確かめる。
$x>0,y>0$ で考える。右辺の分母・分子を $x^2$ で割ると
$$y^{\prime }=\frac{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{\frac{y}{x}}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$$
となり、右辺は $\frac{y}{x}$ だけで表される。したがってこの方程式は同次形 $y^{\prime }=f\left(\frac{y}{x}\right)$ である。

手順2：$y=xu$ と置き換える。
$u=\frac{y}{x}$ とおくと $y=xu$ で、$x>0,y>0$ より $u>0$ である。積の微分より
$$y^{\prime }=u+x{u}^{\prime }$$
これを方程式に代入すると
$$u+x{u}^{\prime }=\frac{1}{u}+u$$
両辺から $u$ を引いて
$$x{u}^{\prime }=\frac{1}{u}$$

手順3：変数分離形として解く。
$x>0$ なので両辺に $\frac{u}{x}$ を掛けると
$$u\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}$$
両辺を $x$ で積分すると
$$\int udu=\int \frac{1}{x}dx$$
$$\frac{u^2}{2}=\log x+C(C\text{ は定数})$$

手順4：初期条件で定数を決め、解の定義域を確かめる。
$y(1)=2$ より $u(1)=2$。$x=1$ を代入すると $\frac{4}{2}=\log 1+C=C$ なので $C=2$。よって
$$u^2=2\log x+4$$
$u>0$ なので $u=\sqrt{2\log x+4}$ であり、これが意味をもち $u>0$ となるのは $2\log x+4>0$、すなわち $x>e^{-2}$ のときである。したがって求める解は
$$y=x\sqrt{2\log x+4}(x>e^{-2})$$
である（$x\to e^{-2}+0$ で $y\to 0$ となり、領域 $y>0$ の境界に近づく）。
（確かめ：$x=1$ で $y=1\cdot \sqrt{4}=2$。また $e>e^{-2}$ なので $x=e$ はこの区間に含まれる。）

手順5：$x=e$ を代入する。
$\log e=1$ より
$$y(e)=e\sqrt{2\cdot 1+4}=\sqrt{6}e$$

$v=y/x$ とおくと $y=xv$、$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$ である。右辺は $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{1}{v}+v$ なので、$x{v}^{\prime }=\frac{1}{v}$ となり変数分離形になる。

$vdv=\frac{dx}{x}$ を積分して $\frac{v^2}{2}=\log x+C$ を得る。

初期条件 $y(1)=2$ より $v(1)=2$ なので $2=C$。したがって $v^2=2\log x+4$ である。

$y>0$ より $y=x\sqrt{2\log x+4}$。これは $x>e^{-2}$ で定義され、$x=1$ と $x=e$ を含む。

$x=e$ では $y(e)=e\sqrt{2+4}=e\sqrt{6}$。

検算：$y^2=x^2(2\log x+4)$ を微分すると $2y{y}^{\prime }=2x(2\log x+4)+2x$。よって $y^{\prime }=\frac{x(2\log x+5)}{y}$。一方、$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2(1+2\log x+4)}{xy}=\frac{x(2\log x+5)}{y}$ で一致する。